|
Математика – наука естественная (хоть и «дана» человеку и считается языком), она является обобщением эмпирического знания. Априорное начало в ней может присутствовать в форме первозданной потенции живого существа возникать из окружающего мира с унаследованными от природы определенными законами развития, в том числе законами мышления. Обобщая повседневный опыт, накапливаемый миллионы лет, человек совершенствует математический аппарат, математический и логический образ мыслей [57]. Динамическое и математическое мышления взаимодействуют и дополняют друг друга. То что это так, показывает работа [58], где рассматривается догматическая ссылка на фокус математика С.К. Клини [59], который рассматривает вместо «всех чисел на отрезке [0; 1] – произвольный пересчет каких-либо … чисел, принадлежащих интервалу». Здесь читателю демонстрируется типичный пример субъективизма, но уже не в процедуре измерения или подсчета, а в «свободе выбора» того, что подсчитывать и как подсчитывать. Но А.А. Зенкин приводит контраргументы и дает сравнение «доказательств» Н. Бурбаки, Ф. Хаусдорфа, С.К. Клини, М.Дж. Коэна: все они образец действенности гипноза, которым, видимо, обладал маг и «гуру» наивной теории множеств Г. Кантор. А.А. Зенкин предлагает все же вместо актуально заданной бесконечности рассматривать множества потенциально бесконечные. Это так называемая Аксиома Аристотеля. Из нее и аристотелевского определения понятия потенциальной бесконечности немедленно следует Теорема 1: Любое бесконечное множество не содержит всех своих элементов [60]. Результат, надо прямо сказать, «из ряда вон выходящий». К сожалению, при всей прогрессивности их взглядов, аргументация А.А. Зенкина и Я. Шрамко не выходит за рамки методологии, которой, как и Г. Кантор, пользовался Ж. Пеано еще в XIX веке при аксиоматическом построении арифметики, в которую как в математическую структуру изначально вводятся коммутативные и ассоциативные операции над элементами-числами. А это не отвечает реальному течению дел в том мире, где возникла самая странная из всех математических теорий – теория множеств. Для нормального же человека и вовсе непонятен тот птичий язык, на котором с легкой идеи Г. Кантора стали щебетать высоко в облаках метафизики жаворонки с «базовым» математическим образованием. 1.3. Геометрия Аксиоматический метод Аристотеля, развитый им в логике, с успехом был применен Евклидом при построении дедуктивной геометрической теории. С тех пор ученые задают вопросы: 1) не могут ли аксиомы из системы аксиом определенной геометрии быть выведены из других аксиом этой системы; 2) нельзя ли прийти посредством логических умозаключений при использовании аксиом системы к двум или более противоречивым теоремам или следствиям; 3) можно ли аксиомы дополнить какими-либо новыми аксиомами независимо от старой системы аксиом без привнесения в нее противоречий? Ввиду ее в некоторой степени первозданности, рассмотрим геометрию Евклида несколько подробнее. — 37 —
|