|
Сама постановка парадокса лжеца, то есть парадокса «Я лжец и не лжец в одно и то же время»: А & ?А (= ?), основана на метафизической структуре математики, в которой «процесс совпадает с результатом». В динамическом мышлении, отличном от мышления математического, такого парадокса не существует, так как в один момент времени субъект лжет, а в другой может не лгать. И так далее. То есть смысл высказываний субъекта и их оценка зависят от конкретной ситуации, от хода, от развития процесса общения и соотношения с окружающим миром. А.А. Зенкин решает проблему парадоксов средствами, выработанными внутри математики, заменяя фразы и их смысл. Б. Рассел ввел методику логицизма: запрет применять в математике логические конструкции, в которых существуют утверждения или отрицания относительно самих этих конструкций. Различные подходы в устранении парадоксов – в интуиционизме и формализме. «Брауэр отказался от использования закона исключенного третьего (интуиционизм)» [54]. Д. Гильберт вообще против семантики в математических утверждениях (формализм) и сводит всю математику к «игре в символы» (метаматематика, претендующая на то, чтобы стать единственно верной «теорией доказательства» и рассматривающая всю математику от Пифагора до наших дней как содержательную, неформальную, то есть как наивную). Общим основанием для всех этих «технологий» служит готовность пожертвовать любой частью статного тела математической науки, но отнюдь не для избавления математики от казусов, а ради увековечивания теории трансфинитных чисел Г. Кантора. А.А.Зенкин же предлагает изгнать из математики актуальную бесконечность и, тем самым, трансфинитные числа Г. Кантора, введенные вопреки стагиритовскому: Infinitum Actu Non Datur. «Сегодня можно констатировать, что усилия Рассела, Брауэра, Гильберта и вообще всей математики ХХ в. Были направлены на то, чтобы обойти проблему парадоксов, а не на то, чтобы решить эту проблему… Как бы то ни было, но нельзя остаться равнодушным к поистине выстраданному воплю великой математической души: «Состояние, в котором мы находимся сейчас в отношении парадоксов, на продолжительное время невыносимо. Подумайте: в математике – этом образце достоверности и истинности, – образование понятий и ход умозаключений, как их всякий изучает, преподает и применяет, приводят к нелепостям. Где же искать надежность и истинность, если даже само математическое мышление дает осечку?» [55]. Это было высказано в 1925 г. «Однако спустя и два десятилетия это «невыносимое состояние» остается неизменным [в 1946 г.]. Мы меньше, чем когда-либо, уверены в первичных основах (логики и) математики. Как все и вся в мире сегодня мы переживаем «кризис»… А еще через десять лет «трагические краски» сгущаются: «Не существует, да и не предвидится, никакого единого и общепринятого способа перестройки математики, и в этом смысле кризис оснований… продолжается»[56]. Спустя сто лет на пороге третьего тысячелетия проблема парадоксов так же неразрешима для мощнейшего аппарата современной математической логики и метаматематики, как и вначале ХХ века (с. 80 – 81). Далее А.А.Зенкин мощно призывает отказаться от актуальной бесконечности. Но не проще ли вернуться к основаниям математики, чем безуспешно обсуждать ее парадоксы? — 36 —
|