Абстракция в лабиринтах познания

В несколько свободной манере (не претендуя на строгость) можно было бы высказаться так: если мы сохраняем информацию о прежнем универсуме, к элементам которого применялась обобщающая абстракция, то возникает типичная интервальная ситуация “внутри и снаружи”, непротиворечивый выход из которой объясняется тем, что “снаружи”, на классах абстракции, одинаковость – это тождество, а “внутри”, на исходном универсуме, по-прежнему одинаковость. Значит, в противовес обобщающей абстракции факторизация не обобщает, а изолирует и индивидуализирует, и индивидуализирует не конкретные, а абстрактные объекты. Такая ситуация имеет место по существу в каждом случае гомоморфного отображения при согласованности отношения одинаковости с данным отображением, то есть в случае, если это отображение не меняет своего значения при замене любого его аргумента одинаковым с ним. Тогда говорят, что значение отображения не зависит от выбора элементов в классах абстракции, а зависит только от классов абстракции.

Если одинаковость согласована с данным отображением, то структура, определенная на исходном множестве, переносится на фактор-множество по данной одинаковости. Так, по операциям дизъюнкции, конъюнкции и отрицания множество высказываний образует структуру булевой алгебры, а определенная на этой структуре равнозначность высказываний согласована с отображением множества высказываний в множество их истинностных значений. В соответствии с этим и структура алгебры высказываний переносится на структуру множества их истинностных значений, образуя алгебру истинностных значений (алгебру Линденбаума – Тарского). Следовательно, коль скоро речь идет о принципе абстракции, то с одинаковым правом можно сказать и то, что одинаковость представляемых однозначно выражается в тождестве представляющих их абстрактных объектов, и то, что тождество абстрактных объектов, порождаемых абстракцией отождествления, однозначно выражается одинаковостью представляемых ими конкретных объектов. Этим обстоятельством нередко пользуются или для замены конкретных объектов их абстрактными представителями – свойствами конкретных объектов, или чтобы “превратить” одинаковость в логическое тождество.

К примеру, структура рационального числового поля нестандартна по отношению к тождеству, но ее можно превратить в стандартную, “склеив” любые две эквивалентные дроби. Когда говорят, что “одна и та же” положительная рациональная дробь допускает бесконечное разнообразие представлений, то этим уже подчёркивается, что “одно и то же” – это класс эквивалентных представлений, в которых эквивалентность совместима с арифметическими операциями над дробями. Но если считать, что дроби сами суть числа, то такое тождество-эквивалентность нельзя толковать как тождество чисел в его логическом смысле, поскольку тождество дробей имеет иной смысл, чем тождество натуральных чисел. Если последнее – это тождество индивидов, то первое – это тождество отношений этих индивидов с существенно иным смыслом [222].