Абстракция в лабиринтах познания

5.5. Абстракция отождествления и факторизация. Итак, как я уже сказал выше, применяя абстракцию отождествления, мы не можем остановиться на тождестве “таких же”, а должны обратиться к тождеству “тех же самых”. Это необходимо хотя бы для того, чтобы обеспечить единственность вводимых абстрактных понятий, и, – что особенно важно в вопросах обоснования математических суждений, – укрепить нашу веру в однозначность натурального ряда. То, что эта однозначность является предметом веры, а не фактом, было замечено ещё в эпоху методологических баталий классиков и эффективистов [216]. В частности, Лузин, в письме к Куратовскому, писал об этом так: «Фундаментальная проблема состоит в том, чтобы выяснить, является ли последовательность целых положительных чисел вполне объективной? Кажется, что она почти объективна, и что имеются следы несомненной субъективности, такой, что нельзя говорить о последовательности целых положительных чисел всегда, во всех случаях, в одном и том же смысле. Однако в данный момент слишком преждевременно ставить жгучую проблему о единственности последовательности целых положительных чисел и говорить о конечных недостижимых числах»[217].

Характерно, что в начале 60-х гг. эта “жгучая проблема” была вновь поставлена (и возвращена к обсуждению) в ультраинтуиционистской программе обоснования теоретико-множественной математики [218]. В мою задачу не входит обсуждение этой проблемы. Здесь важно лишь подчеркнуть её самую тесную связь с проблемой отождествлений, а точнее, с невозможностью некоторых отождествлений и в силу этого, с невозможностью (в некоторых случаях) доказательства противоречивости дедуктивных теорий [219]. Поэтому “объективность”, о которой говорит Лузин, естественно понимать как вопрос онтологии, как вопрос об онтологической индивидуации натуральных чисел, как вопрос об осмысленности понятия тождества объектов вообще, независимо от того, идёт ли речь об их гносеологической (фактической) определимости или о тех объектах, для которых мыслится только их онтологическая (трансцендентная) определимость, независимая от предположений, которыми руководствуются при построении теории. Очевидно, что для конструктивного образа мышления, поскольку он несёт в себе “следы несомненной субъективности”, вопрос о “тождестве вообще” не имеет смысла. А это и приводит нас к необходимости отличать абстракцию отождествления от того процесса абстракции, который в теоретико-множественной математике называют факторизацией или гомоморфизмом.

Как и абстракция отождествления, названный процесс лежит в основе определений через абстракцию [220]. Но поскольку это приём классической математики, он не чуждается универсалий, а напротив – именно универсалии и являются объектами, которые вводятся с его помощью. Весь процесс идёт по существу по следующей схеме: если х и у одинаковы, то зачисляем их в один класс, так что если х принадлежит Кх, а у принадлежит Ку, (и при этом речь идёт о произвольных объектах), то Кх и Ку – классы одинаковых объектов (их называют классами абстракции или классами эквивалентности), и, следовательно, эти классы тождественны в обычном смысле теоретико-множественного принципа объемности (экстенсиональности), то есть тождественны логически (представляют собой “один и тот же” класс). Продолжая этот процесс до исчерпания всех элементов исходного множества (онтологического универсума конкретных объектов), мы разбиваем это множество на классы так, что каждый класс содержит все элементы, одинаковые между собой. Но тем самым в качестве нового абстрактного объекта вводится и некоторое новое понятие, соответствующее классам абстракции, а сами классы образуют новые сущности – элементы нового, теперь уже гносеологического универсума, в котором одинаковости на множестве различных конкретных соответствует тождество на множестве классов эквивалентности. Иными словами, «гомоморфизм означает не что иное, как объединение в “классы эквивалентности” (классы абстракции – М.Н.) совокупностей объектов, могущих различаться посредством других критериев отождествления, в чём и состоит образование абстрактных понятий»[221]. Очевидно, что при этом, вообще говоря, отступают от условий конструктивности вводимых абстрактных объектов (от номиналистической установки конструктивизма), когда абстрактный объект мыслится только как произвольный представитель таких же как он конкретных объектов, но взятый как эталон одинаковости.