|
Законность обобщения казалась при этом очевидной, поскольку доказательство, хотя оно и велось с опорой на созерцание вполне определённой частной фигуры, само не основывалось на “материальном” эксперименте – оно не являлось опытным или эмпирическим доказательством в собственном смысле, как в случаях измерения, складывания углов, перегибания листа (доказательство на бумажном треугольнике) или использовании транспортира. Теорема относилась к идеальным объектам теории и устанавливалась, по выражению Прокла, невещественным и разумным путём. Ссылка на идеальные объекты теории, на её экзистенциальный характер в определённом смысле устраняла эмпирический элемент из состава доказательства и – в этом смысле – его философскую индуктивную суть [232]. Но она не устраняла логическую суть вопроса о том, в каких случаях в дедуктивной теории для доказательства её теорем можно пользоваться примером или применять методы заключения от частного к общему, и можно ли при этом считать, что такие методы не нарушают дедуктивный характер теории. Отвечая сегодня на этот вопрос, стоит, конечно, напомнить его историю. Поэтому я предлагаю здесь (заведомо неполный) поимённый исторический экскурс, следуя отчасти порядку обсуждения, что принят у Бета. Но сначала я коротко остановлюсь на содержании понятия, о котором выше уже шла речь и которое в дальнейшем будет основным предметом нашей темы – на понятии обобщения. 6.2. О понятии “обобщение”. Без претензии на строгость (на определение) скажем, что обобщение – это форма (метод) приращения и организации знания путём перехода на более высокую ступень абстракции. Точнее и конкретнее, обобщение – это ограничение исходного разнообразия данных путём построения некоторого его гомоморфного образа, являющегося самодовлеющим и полноценным абстрактным знанием “внутри себя”. Обобщение считается важнейшим средством познания, позволяющим извлекать законы из заслоняющей их пестроты явлений, кодифицировать и отождествлять в “единой формуле” множество различных вещей и событий, «сводить под одну крышу совершенно разные объекты»[233]. В науке этот обобщающий и одновременно упрощающий взгляд закрепляется в форме новых понятий и суждений. И хотя самый акт обобщения основан на ограничении, его реальным результатом является обычно изменение семантического поля вновь введённых понятий и расширение сферы их применения. Так, переход от арифметики к алгебре является, конечно, обобщением. Он предполагает существенное изменение языка теории и применяемых методов доказательства. И если в арифметике ограничиваются пониманием сложения как конкретной операции над конкретными числами, то в алгебре область действия сложения заведомо не оговаривается и ограничивается только условием равенства этих областей с точностью до изоморфизма. Таким образом, операция сложения понимается в алгебре уже как абстрактная операция (как класс в известном смысле тождественных операций), подчинённая определённой группе законов, которые, если оставаться на точке зрения конкретной арифметики, нельзя ни формализовать (сформулировать в общей форме), ни доказать как теоремы. Дальнейшим следствием такого обобщения является переход к более абстрактным понятиям алгебры, таким как группы, кольца, модули и пр. — 97 —
|