Абстракция в лабиринтах познания

Со своей стороны добавлю, что если задачу отождествления ограничить контекстом, определяющим указанную выше операцию, то относительно неё подстановочность всё же выполнима в интервале данной абстракции отождествления рациональных чисел. Более глубокий результат можно получить, рассматривая предикат равенства не как двухместный, а как четырёхместный (или двухместный от функций по натуральным аргументам). При этом выясняется, что только равенство натуральных чисел действительно удовлетворяет всем условиям на логическое тождество, а равенство дробей —только условиям на эквивалентность.

Вообще, отождествление – это не констатация (узнавание, прослеживание, подтверждение) отношения тождества, а некоторое его порождение, исходя из определённых установок познания. Исходя из тех же установок, решается вопрос о достаточных основаниях для тех или иных отождествлений. Субъективность таких оснований может определяться доступностью (полнотой) информации об объектах, но, очевидно, что какая-то информация такого рода имеется всегда. Следовательно отождествление, как и различение, – это всегда некоторая задача, допускающая (в зависимости от условий) различные решения.

5.3. Абстракция отождествления. Если верно, что в основе всякой абстракции лежит акт отождествления, то не менее верно и то, что само отождествление является абстракцией. Но слово “отождествлять” позволительно толковать и употреблять в разных смыслах (по-разному). Всё зависит от того, на каких условиях допускаются акты отождествления. Абстракция отождествления (термин введён А.А. Марковым, 1954) естественно релятивизирует этот акт, выражая по существу потребность в принципе, более прозрачном и менее метафизичном, чем лейбницевский принцип тождества неразличимых.

Абстракция отождествления – это абстракция, с помощью которой из каких-либо объектов одного рода, то есть в каком-либо смысле объектов одинаковых (эквивалентных, равных), посредством отвлечения от их посторонних различий (несущественных для данного отношения одинаковости) порождается объект, единственный в своём роде – абстрактный объект.

Для каждого применения абстракции отождествления те объекты, к которым она применяется (например, все оттиски буквы “я”, напечатанные на этой странице) называют (считают) конкретными; а те, что возникают в результате применения абстракции отождествления (например, единственная буква “я” русского алфавита), – абстрактными.

В систему абстракций конструктивной логики и математики абстракция отождествления включается в качестве “вспомогательной” абстракции. Хотя с её помощью порождаются абстрактные объекты – абстрактные буквы, абстрактные алфавиты, абстрактные слова и пр., всё же считается, что это не приводит к таким актам идеализации, которые, с одной стороны, существенны для конструктивных теорий, а с другой, – выводят за рамки этих теорий, нарушают их принципиальные установки, поскольку любое рассуждение с применением абстракции отождествления может быть заменено рассуждением, не использующим этой абстракции, а именно, – рассуждением только на конкретных объектах. Если лейбницевский принцип тождества неразличимых, характеризуя тождество как “внутреннее” отношение объекта, был для него иным выражением принципа индивидуации, то для конструктивистов абстракция отождествления не исключает, а скорее предполагает абстракцию индивидуации как независимый принцип, хотя они ничего об индивидуации как абстракции не говорят.