Абстракция в лабиринтах познания

Последние слова предыдущего абзаца могут показаться странными с точки зрения идеи смысловой редукции. В самом деле, не приводит ли редукция смысла к устранению той отличительной особенности абстракции более высокого порядка, которая в данном примере выражается предикатом “бесконечно удаленная” и которая составляет особую, новую семантику этой абстракции?

На этот вопрос, как я думаю, нельзя отвечать “вообще”, а только имея в виду определенную интервальную ситуацию.

Так, если иметь в виду интервальную ситуацию, порождаемую аксиомами проективной геометрии, то ответ должен быть отрицательным, ибо в этом интервале нет никакого различия между обычными и бесконечно удаленными точками: и те и другие в равной степени являются объектами проективных преобразований. Причём заведомо предполагаются конечные образы бесконечно удаленных точек. Это предположение настолько существенно, что бесконечно удаленные объекты вообще “имеют смысл лишь постольку, поскольку они рассматриваются при некоторой конкретной компактификации данного “конечного” пространства”[101].

Значит, вопрос о новой семантике может относиться к какой-то внешней точке зрения по отношению к проективной, например, к той, которая исходит из евклидова, а не проективного понятия плоскости. С этой точки зрения мы действительно наталкиваемся на новую семантику бесконечно удаленных объектов. Но и здесь, вообще говоря, метрические свойства конечных объектов мы можем перенести на объекты бесконечно удаленные, если несколько расширим понятие о метрических свойствах за счет их аналитической модели.

Действительно, понятие о бесконечно удалённой точке вытекает из аналитического выражения данного отношения отрезков:

х = х1 ? ?х2 / 1 ? ?,

где ? – некоторая постоянная. В случае бесконечно удалённой точки х = ?, а ?= ? 1. Точнее, lim ? = ? 1 при х ? ?. Единственность бесконечно удалённой точки диктуется аналогией с обычными точками, для каждой из которых ? единственно.

Наконец, надо принять во внимание то, что внутри интервальной ситуации, порождаемой только евклидовыми аксиомами пространства, бесконечно удаленные объекты вовсе лишены семантики, и если мы говорим о проективном обобщении элементарной геометрии, то имеем в виду позицию, внешнюю по отношению к геометрии евклидовой плоскости. Обобщение достигается как раз посредством того, что введенная извне новая семантика “как бы элиминируется” в интервале абстракций проективной геометрии, то есть конечные элементы пространства уравниваются в правах с бесконечными. Пополнение плоскости бесконечно удаленными объектами (точками и прямыми) расширяет понятие перспективного отображения до понятия перспективного преобразования (гомологии), позволяя таким образом выделять чисто проективные свойства фигур – так называемые проективные инварианты. А смысловая редукция в данном случае позволяет изучать бесконечно удаленные образы на их конечных моделях. Осмысливая бесконечное как конечный образ в плоскости проективного изображения, она превращает трансцендентное в реальный объект познания.