|
Обращаясь к вопросу об осмыслении абстракций, естественно вспомнить номиналистическую идею редукции и предположить, что осмыслить абстракцию – это значит каким-то образом выразить её смысловое содержание через смысловое содержание абстракции более низкого порядка. А это значит – представить первую как обобщение второй с сохранением ее исходной семантики или, по крайней мере, с сохранением той части этой семантики, которая не является посторонней при данном обобщении. Когда речь идет об абстракции некоторой теории, такого рода прием нередко непосредственно приводит и к более общей теории, в которой абстракция высокого порядка играет ту же самую роль, какую соответствующая ей абстракция более низкого порядка играет в обобщаемой теории. Поэтому, если смотреть на дело с точки зрения более общей теории, различие между абстракцией высокого порядка и абстракцией низкого порядка оказывается несущественным. Поясню эту мысль на простом примере. Известно, что основные понятия элементарной, или Евклидовой, геометрии (точки, прямые, плоскости) и сама эта геометрия возникли как абстракции от наблюдений за поведением физических тел. Следовательно, это абстракции не очень высокого порядка, даже если принять во внимание их интеллигибельный смысл, связанный с операцией предельного перехода. В свою очередь, проективная геометрия возникает как обобщение элементарной и как абстракция от ее абстракций. Значит, вообще говоря, понятиям проективной геометрии следует приписать более высокий порядок абстрактности, чем понятиям геометрии элементарной [99]. И одной из таких более высоких абстракций является понятие о бесконечно удаленной точке. Осмыслить эту абстракцию через абстракцию обыкновенной метрической точки – значит, в соответствии с допущенным выше, просто перенести все проективные (и только проективные) свойства обыкновенной точки на точку бесконечно удаленную. Так именно и поступают в геометрии, руководствуясь принципом постоянства формальных законов, согласно которому законы операций, определённые для элементов некоторой исходной области (в данном случае для точек евклидовой плоскости), при последующих её обобщениях (в данном случае за счет бесконечно удаленных точек проективной плоскости) должны сохраняться и для новых элементов. Этим устанавливается связь прежних и новых понятий, смысловое отношение абстракций разных порядков. При этом само собой возникает представление об индуктивной цепи обобщений, звенья которых отличаются друг от друга определенным шагом абстракции и семантической новизны. Развитие познания предстает в этом случае как дискретный процесс, на каждом новом этапе раскрывающий новую “сущность” [100]. — 47 —
|