|
Отсюда, надеюсь, ясно, каким образом согласованы между собой прикладное и чистое ?-обобщения. Между прочим, можно рассмотреть и другой вариант той же идеи, если воспользоваться аксиомной схемой А(а) ? ?х (х = а ? А(х), где отношение типа равенства сохраняет свойство А [309]. Правда, остаётся ещё вопрос, как осуществить абстракцию отождествления и сделать её настолько убедительной, чтобы снять возражения Э.Бета, который считает такое решение проблемы “кажущимся”. В частности, он пишет: “решение, которое состоит в утверждении, что рассматриваемая особая фигура представляет собой всякую фигуру соответствующего класса, есть едва ли не нечто большее, чем ignoratio elenchi. Ведь с самого начала проблема касается не такой уж очевидной возможности, а именно того, что все фигуры представлены одной единственной из них” [310]. И в этом возражении на описанную выше процедуру (или метод) трудно не согласиться с Бетом. Однако я думаю, что во многих случаях мы всё же можем сделать необходимую нам абстракцию отождествления достаточно убедительной. Хотя ситуацию, выраженную в содержании теоремы, мы переводим в наглядный геометрический образ, доказательство мы в сущности проводим так, как будто перед нами не эмпирический объект, “личные” свойства которого не относятся к делу, а объект абстрактный – идеальный геометрический образ. Мы доказываем теорему на понятии “треугольник”, пользуясь одним из его референциальных значений. Иначе говоря, в нашем доказательстве проблема общности переносится с экстенсионального аспекта объекта доказательства на его интенсиональный аспект. Это то, о чём говорил Кант: “математик может доказать свойства круга вообще, начертив фигуру палкой на песке, как бы она ни была неправильна, с таким же совершенством, как если бы самый искусный гравёр выграверовал её на меди”[311]. К сожалению, эту мысль Канта, заимствованную им у Платона, трудно примирить с другим его утверждением, что “все геометрические основоположения … всегда выводятся из созерцания …, а вовсе не из общих понятий” [312], даже если принять во внимание априорный характер такого рода созерцаний. Я не предлагаю здесь общих рецептов на применение принципа абстракции. Но об одной возможности оправдать приведённую выше аксиомную схему хочу сказать. Очевидно, что сохранность свойства, необходимого для применения абстракции отождествления, а следовательно, и для доказательства теоремы о сумме углов треугольника будет вполне обеспечена, если фигурирующее в этой аксиомной схеме отношение типа равенства можно преобразовать в логическое тождество всех треугольников. В рамках евклидовой теории этого сделать нельзя – слишком жёсткими являются здесь условия для тождества. Но мы можем использовать для этой цели другую теорию – аффинную геометрию на евклидовой плоскости. Здесь все треугольники абсолютно неразличимы (логически тождественны) по любому свойству, так что класс абстракции (по свойству “быть треугольником”) представляется как единичный класс и любое обобщение вида — 117 —
|