|
Много лет назад я попытался уложить два принципа – дедуктивный и индуктивный – в одну, общую, схему доказательства [303]. Разбирая случай теоремы о сумме углов треугольника, я рассуждал примерно так: поскольку речь идёт об обобщениях дедуктивных теорий, правила таких обобщений должны отвечать дедуктивному характеру доказательств в этих теориях. Но поскольку результат их применения должен быть “истинным обобщением”, выражающим акт познания, родственный индуктивному переходу от частного к общему, эти правила не могут быть и правилами “чистой логики”, ведь если верить тому же Канту, все теоремы геометрии являются синтетическими суждениями, хотя и имеют при этом априорный характер. Следовательно, путь, которым шёл Аристотель, а позднее Локк со своей идеей общего треугольника и Беркли, и Юм с их идеей абстрактного представителя в этом случае может оказаться более всего соответствующим сути дела. В самом деле, правило ?-обобщения чистой логики разрешает универ-сальное замыкание открытой формулы А(х), если эта формула была выведена и при этом переменная х либо не имела свободных вхождений в посылки данного вывода, либо же вовсе не встречалась в его посылках. При таком условии истинность А(х) не зависит от свободных вхождений х, так что формуле А(х) без каких-либо “индуктивных оснований” может быть придана интерпретация всеобщности. Отсюда законность обобщения, выраженного в формуле ?хА(х), которое здесь по существу тавтологично, или, другими словами, является аналитическим. Как иронически отметил Рассел, “абстрагируясь от отдельных случаев, мы в итоге остаёмся ни с чем” [304]. Но когда х в посылках вывода свободна, доказательство может зависеть от конкретных значений, которые в процессе доказательства могут быть приданы этой переменной (что в сущности и делается в доказательстве на частном примере), а это не обязательно все значения из области возможных значений переменной х, но обычно те, которые обозримы в данном случае и для которых уже дано доказательство. Однако для каких-то других значений х (не входивших в доказательство) А(х) может оказаться ложной. Именно поэтому и возникает необходимость в обосновании общего заключния ?хА(х). И Бет, и интуиционисты объясняют, как обосновать такой переход, не теряя идею единичного примера, то есть сохраняя синтетический характер доказательства. Но можно ли его обосновать, не прибегая при этом к доказательству от противного и отказываясь от каких-либо интуитивных критериев очевидности? Видимо, можно, если воспользоваться тем обстоятельством, что в данном случае “мы заинтересованы в том, чтобы заставить переменную пробегать не весь универсум, а лишь некоторую его часть”[305]. Я напомню, что, по Колмогорову, смысл общего утверждения ?хА(х) определяется как требование “указать общий метод, который позволил бы решить проблему А для каждого произвольного х”[306]. Я полагаю, что одним из таких методов (когда речь идёт о 32-ом предложении I книги “Начал” Евклида), кроме тех методов, о которых говорилось выше, может быть метод абстракции, основанный, во-первых, на применении ограниченных кванторов и, во-вторых, на том замечательном обстоятельстве, что в интервале применяемой абстракции отождествления отношение типа равенства сводимо к отношению логического тождества. — 115 —
|