Абстракция в лабиринтах познания

Я позволю себе на этом остановиться в изложении чужих точек зрения на интересующий нас предмет и перейти к изложению собственной точки зрения на проблему, которую я, в отличие от Бета, предпочитаю называть “проблемой Аристотеля – Беркли – Локка”, поскольку её первая постановка всё-таки восходит к античности.

Я думаю, что в заочной полемике великих философских авторитетов проявились контуры двух аспектов одной и той же логической процедуры. Локк как бы предчувствовал творческий характер определений через абстракцию, но только нащупывал путь к общему понятию (классу абстракции) как функции равных в некотором смысле объектов, а Беркли, отвергая общие абстрактные понятия, предпочёл реализацию того же принципа посредством конкретных представителей общих понятий. В первом случае опора на абстракцию очевидна. Во втором она замаскирована идеей представительства, но явно проявляется в том, что любой представитель (по определению) – это значение функции (абстрактного понятия!), определённой так, что каждому объекту из множества равных, она сопоставляет один и тот же (выбранный нами) объект из этого же множества – его эталон [301]. Отношению “быть равным” (“быть эквивалентным”) Беркли предпочитает отношение “быть эталоном”, не подозревая, что эти отношения равносильны и что в основе любого из них лежит абстракция отождествления.

Как я уже отмечал в начале этой главы, Евклид не был озабочен проблемой “общего случая” как проблемой логической. Видимо, он считал вполне очевидной истиной, что верное в одном случае будет верно и во всех аналогичных. Этим “одним случаем” был для Евклида пример. Но пример в дедуктивной теории является всего лишь “рабочей посылкой” доказательства, если он не подкреплён чем-то вроде интуиции общности или какой-либо иной возможностью обоснования общей теоремы. Использовав пример, мы должны его исключить, заменив его утверждением совершенно общего характера. По существу, мы должны доказать теорему: “если что-то верно для данного случая, то это верно для любого случая из класса случаев определённого рода”.

Осознание необходимости такой логической работы пришло значительно позже эпохи Евклида у предтечей неевклидовой геометрии. Оно было обязано всё тому же постулату о параллельных, то есть одной из посылок в доказательстве теоремы о сумме углов. Но и тогда всё ещё оставался открытым поставленный Аристотелем вопрос: “когда доказательство чего-нибудь есть доказательство общего?”[302]. Ответ по существу сводился к отысканию некоторых принципов, которые позволяли бы согласовать конечный опыт и знание о бесконечном. Для числовых объектов (для теории чисел) такой принцип А. Пуанкаре усматривал в доказательствах по рекурсии. Но что можно сказать об этом для случая других теорий, в частности, для пространственных объектов геометрии?