|
6.10. ?-обобщение и принцип абстракции. Аргументация Бета, вообще говоря, бесспорна, но в данном случае она опирается на классические принципы доказательства от противного и в этом смысле она уязвима для интуиционистской критики. Это ставит нас в контекст гносеологических обсуждений, затрагивая проблемы философского характера, связанные с duplex negatio и tertium non datur. Интуиционист, конечно же, предпочтёт прямое доказательство косвенному, если последнее зависит от названных выше принципов, а первое опирается только на интуицию общности (по А.А. Маркову) и абстракцию отождествления. Конструктивное понимание общих суждений позволяет утверждать истинность ?хА(х), если возможность осуществить конструктивное доказательство А(х) по любому х представляется совершенно очевидной на частном примере доказательства для некоторого а. С такой именно ситуацией Марков и связывает понятие об интуиции общности[297]. С.К. Клини называет подобный частный случай проверкой общей теоремы, полагая, что доказательство при этом “состоит в том, что метод, использованный в этом частном случае, оказывается общим (курсив мой – М.Н.), т.е. приложим ко всем случаям. Таким образом, иллюстрация на частном случае днмонстрирует некоторый тип рассмотрения, применимый ко всем случаям. В тех случаях, когда это … очевидно, можно опускать проведение доказательств в общих терминах”[298]. Ясно, что хотя для Клини очевидность не является последней инстанцией, она всё же допустима как критерий истины. Стоит, однако, отметить, что никакой умозрительный принцип (в том числе и интуиция общности) не позволяет нам утверждать, что из доказанности А(а) логически следует доказанность ?хА(х), то есть А(а) |? ?хА(х). Допустимо лишь более слабое утверждение: если ?? А(а), то ?? ?хА(х). Чтобы принять последнее, вполне разумно сослаться на очевидность, если полагать, как это делают интуиционисты, что для понимания математических истин достаточно “ясного научного сознания” и что логика, являясь частью математики, “не может служить для её обоснования”[299]; или же (что почти то же, что предыдущее) верить, вслед за Кантом, что “математика может исследовать общее in concreto (в единичном созерцании) и тем не менее с помощью чистого представления a priori”[300]. Чтобы принять первое, необходимо логическими средствами (а не ссылкой на умозрение) показать, что истинность А(а) от выбора а действительно не зависит. Но если а – постоянная (пусть даже и произвольная постоянная), то в рамках чистой логики мы не можем относительно а высказать (получить) ничего более общего, чем то, что уже установлено (доказано) относительно А(а). Чтобы утверждать логическое следование ?хА(х) из А(а) необходимо доказать дедуктивное равенство этих формул, а это, разумеется, невозможно. Вот почему в сигнатуре чистой логики просто нет постоянных в собственном (аутентичном) смысле этого понятия, а всякое косвенное доказательство, обращённое к примеру (в том числе и доказательство методом семантических таблиц), представляет собой прикладной формализм. — 113 —
|