|
Это, конечно, не новый, а хорошо известный метод классической (теоретико-множественной) математики. Я придам ему только своё интервальное истолкование. Схема этого метода такова: в некотором данном универсуме посредством условия А(х) фиксируют соответствующий этому условию класс абстракции и, соответственно, отношение типа равенства (эквивалентности) объектов этого класса, применяя интуитивный принцип абстракции. Это первый – дедуктивный шаг доказательства. Затем выбирают какой-то определённый (конкретный) объект из этого класса (определённое значение переменной х, например а) и для него доказывают теорему В(а). Это второй – индуктивный шаг доказательства, поскольку оно проводится для единичной посылки [307]. Третий шаг доказательства состоит в устранении постороннего характера второго (индуктивного) шага путём использования следствий первого (дедуктивного) шага. Именно принцип абстракции (если в доказательстве В(а) мы не выходим за его рамки) позволяет нам рассматривать конкретный объект а, для которого доказана теорема, как (произвольный, но фиксированный) абстрактный объект, как представителя всех возможных значений х в контексте данного доказательства. Итак, если Ка – класс абстракции по элемету а и доказано В(а), то доказано, что х ? Ка ? В(х), и, обобщая по переменной х, имеем ?? ?х (х ? Ка ? В(х)). Здесь полезно отметить некоторые гносеологические особенности указанного метода обобщения. Релятивизируя доказательство теоремы В(х) относительно класса абстракции, мы естественно ограничиваем её область истинности, но зато получаем возможность перейти от тривиального ?-обобщения на основе единичного примера к нетривиальному ?-обобщению на основе того же примера. Разумеется, если условие релятивизации отбросить, то заключение В(а) ?? ?х В(х) будет неверным, поскольку х по условию доказательства нельзя рассматривать в интерпретации всеобщности. В содержательных рассуждениях на зависимость того или иного обобщения от интервала абстракции обычно не указывают и даже не обращают внимания. Отсюда видимость совпадения ?-обобщения в чистой логике и ?-обобщения в случае её приложений. Если бы предметную область теории можно было ограничить так, чтобы обеспечить условия для интерпретации всеобщности всех её переменных, она превратилась бы в чистую логику. Осуществилась бы “заветная мечта” логицизма. Но эту ситуацию можно рассматривать только как предельный случай прикладного варианта ?-обобщения, когда все классы абстракции либо исчерпываются универсальным классом, либо речь идёт о доказательствах теорем отдельно в каждом из классов абстракции при тривиальном разбиении универсума. Но в одноэлементном универсуме нетривиальную теорию не построишь, поскольку, как я уже однажды выяснил, в одноэлементном мире тождество и различие сами неразличимы, и, следовательно, никакое знание в нём невозможно [308]. — 116 —
|