Абстракция в лабиринтах познания

Правда, в этом случае мы “импортируем” методы аффинной геометрии (в которой вообще нет единиц масштаба и метрических понятий) для обоснования некоторых “правил поведения” по отношению методам доказательства теорем евклидовой геометрии. Но я не вижу оснований, чтобы подвергать сомнению такой подход.

Глава 7. Абстракция неразличимости

Отношения, познающиеся из опыта,

всегда не вполне достоверны и совер-

шенны, и однако же сравнению всегда

есть за что уцепиться.

(Мишель де Монтень, “Опыты”)

Представление о неразличимостях, о которых преимущественно здесь пойдёт речь, основывается на известной и простой идее: они должны зависеть от информационной техники, с помощью которой приобретается и отображается знание о мире. К такой технике в первую очередь относятся, конечно, наши естественные средства познания – наши органы чувств.

Что же касается чистой логики и математики, то, относя их к информационным средствам познания, следует иметь в виду, что эти средства как бы второго порядка, они в сфере “чистого разума”. Это своеобразная надстройка над опытом, с помощью которой не столько непосредственно отображается, сколько путём абстракции конструируется мир.

Оправданием такой особой информационной роли чистой логики и математики является хотя бы тот факт, что строгость этих дисциплин требует, чтобы погрешности (ошибки) в решении вопроса о неразличимости объектов, представленных, к примеру, в виде уравнений (логических форм числовых равенств) всегда были равны нулю. Приближенные равенства как предмет для изучения – дело прикладной математики (численного анализа), а это уже вопрос не только “чистой теории”.

Если принять, что и чистой математике не чужда природа информационной неразличимости, то речь может идти лишь о природе идеального порядка – неразличимости как “истине разума”, не столько полученной извне, сколько созданной изнутри с бесконечной точностью. А для этого необходим идеальный наблюдатель, логика решений которого не зависела бы от пороговых характеристик, неизбежных в случае эмпирических наблюдений.

Бесконечность логико-математической точности формально объясняется абстракцией предельного перехода:

lim 1 / ? х, когда ? х? 0.

Здесь ? х – погрешность оценки значения х, а 1/ ? х – формула точности. Говоря иначе, неразличимость в смысле логики и математики предполагает, что ? х бесконечно мала. И если перевести это на метрический язык, то равество (тождество по идеальной неразличимости) можно выразить формулой

х = у ? ?? ? х ? у ? ? ?.

Это определение принял бы, по-видимому, и Лейбниц, который явно выделял идею сравнимости расстояний и поэтому яснее, чем кто-либо до него, видел скрытую в этой идее возможность определять тождество через его противоположность – через различие, или, по собственному выражению Лейбница, как последнее из неравенств: “равенство может рассматриваться как бесконечно малое неравенство, где различие оказывается менее всякой данной величины”[313].