Абстракция в лабиринтах познания

Математическое доказательство, согласно Локку, может быть только частным. Поэтому математика нуждается во внелогических критериях его общности. Ведь “если бы кто доказал какое-нибудь положение для одного треугольника или круга, его знание не выходило бы за пределы данной отдельной фигуры” [276].

Мы видим, что в этом фрагменте Локк совершенно забывает о своей идее “общего треугольника”, указывая тут же на иной критерий перехода от частного знания к знанию общих положений. Этот, пожалуй главный для него, критерий состоял в следующем: если мы однажды что-либо доказали на частном примере, то в последующем мы можем пользоваться этим обстоятельством неограниченно, не осуществляя новых доказательств, поскольку за это ручается принцип сохранности тех же самых отношений между теми же самыми неизменными вещами[277]. Говоря иначе, для обоснования перехода от частного к общему Локк привлекает идею тождества в той её форме, которую я называю абстракцией постоянства. Но не трудно сообразить, что такой подход – это просто перестановка спорного вопроса (ignoratio elenchi). Никто, конечно, не сомневается, что “если три угла (в действительности их сумма – М.Н.) треугольника были некогда равны двум прямым, они всегда останутся равны двум прямым”, коль скоро речь идёт о геометрическом треугольнике. Но утверждать, что на “этом именно основании частные доказательства дают в математике общее знание”[278],, __&?___Цb___r__Ъb__е@__Цb___b__________________$_
„___„___„Ж__dр____¤___¤_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________огическое (или, если хотите, гносеологическое) оправдание. Во втором случае квантор общности “бежит по объектам теории”, и его появление должно иметь логический смысл.

Итак, хотя Локк и не уходит от решения вопроса нашей темы, он не улавливает дедуктивный механизм обобщения в рамках математических доказательств, полагая, что достаточно сослаться на принцип сохранности отношений. И этот аргумент Локка можно было бы принять во внимание, если бы его смысл был таков: доказательство, проведённое на особом треугольнике АВС, является общим, поскольку его можно повторить на любом другом треугольнике, ведь условия, существенные для первого доказательства, полностью сохраняются и для всех последующих доказательств на других примерах. Иначе говоря, доказательство на примере равносильно общему доказательству в таких ситуациях, когда общность состоит в методе доказательства, а не в объектах применения этого метода. Обобщить – значит сделать так, чтобы различное можно было бы рассматривать как “одно и то же”. В нашем случае этим “одним и тем же” является именно метод доказательства.