|
Прокомментируем каждый из тринадцати шагов, а затем подвергнем анализу результат преобразования. На шагах (1), (2) и (3) используется определение знака импликации как средства сокращенной записи формул (п. V на с. 57). В результате исследуемое импликативное выражение переходит в формулу нашего исчисления. На шаге (4) применяется первый закон Де Моргана, а на шаге (5) дважды – второй закон Де Моргана. Шаг (6) заключается в снятии двойных отрицаний. Далее, на шаге (7) происходит раскрытие скобок – применяется закон дистрибутивности дизъюнкции относительно конъюнкции. На шаге (8) по закону коммутативности дизъюнкции происходит перестановка членов в формулах ((A1 & А2) V A3) и ((A1 & A2) V ~A1) На шаге (9) снова, причем дважды, применяется закон дистрибутивности дизъюнкции относительно конъюнкции. Шаг (10) состоит в том, что из четырехчленной конъюнкции на основании законов 17 и 14 исключается тождественно‑истинный член (~А1 V A1). На шаге (11) применяется закон коммутативности дизъюнкции, а на шаге (12) происходит раскрытие скобок по закону дистрибутивности дизъюнкции относительно конъюнкции. Обращаем внимание на то, что в наших преобразованиях использовалась ассоциативность операций дизъюнкции и конъюнкции, позволившая в формах, представляющих собой многочленные дизъюнктивные либо конъюнктивные формулы, удалить все скобки (это означает, что скобки мыслятся расставленными любым допустимым, то есть не нарушающим свойства выражения «быть формулой», образом)[51]. Этим же свойством, да еще законом коммутативности, мы пользовались на шаге (13), когда в трех членах конъюнктивной формулы, полученной на предыдущем этапе (они представляют собой дизъюнктивные формулы), расположили буквы в порядке возрастания индексов, сгруппировав вместе буквы и их отрицания. Подчеркнем, что на каждом из тринадцати шагов мы применяли наше «основное» правило вывода – производили замену равного равным, причем иногда по нескольку раз. Исследуем теперь полученное выражение. Как и предыдущая формула, оно представляет собой конъюнктивную формулу, состоящую из трех дизъюнктивных формул. Рассмотрим первую из них, взятую с удобной для наших целей расстановкой скобок: (А1 V ~А2) V (A3 V ~A3); формула (А3 V ~A3) есть тождественно‑истинная форма (частный случай закона исключенного третьего); но раз в дизъюнктивной формуле (А1 V ~A2) V (A3 V ~A3) один из членов тождественно‑истинен, то и вся формула также тождественно‑истинна – это вытекает из табличного определения дизъюнкции в терминах истинностных значений. — 43 —
|