|
Среди объектов, фигурировавших при построении нашей формальной системы, смысл логического следования ближе всего передает импликация. В самом деле, когда утверждается «Из ? логически следует ?», имеют в виду, что не может быть, чтобы ? было верно, а ? неверно, то есть «Если ?, то (обязательно) ?». Говоря точнее, логическое следование означает, что какие бы значения ни принимали пропозициональные переменные в посылке ? и заключении ?, всегда верно, что «если ?, то ?», то есть, что форма (~? V ?) –по определению записываемая импликативным выражением (? ? ?) – тождественно‑истинна. Отсюда получается метод определения следования заключения из посылок: надо образовать импликативное выражение, в котором антецедентом является посылка (или конъюнкция посылок, если их несколько), выраженная в виде формы высказывания, а консеквентом – предполагаемое заключение, также представленное в виде формы; если полученное импликативное выражение тождественно‑истинно, то предполагаемое заключение действительно является таковым, то есть логически следует из посылки (посылок), в противном случае –не является. Покажем, как удостоверяется следование заключения из посылок на уже знакомом нам примере силлогистического модуса Celarent. Представим посылку «Ни одно B не есть С» в виде «Если А1 то не‑A2» то есть (A1 ? ~А2), что является сокращением для формы (~А1 V ~\А2) здесь А1 и ~A2 суть пропозициональные формы, соответствующие выражениям «Нечто принадлежит классу В» и «Нечто принадлежит классу не‑С (то есть дополнению к классу С)» в высказывании «Если нечто принадлежит классу B, то оно принадлежит классу не‑С», которое можно считать совпадающим по смыслу с данной посылкой. Посылку «Все A суть B», используя тот же прием, запишем в виде (А3 ? А1) заключение «Ни одно A не есть С» перейдет тогда в (A3 ? ~А2). Образуем импликативное выражение (((A1 ? ~A2) & (А3 ? А1)) ? (А3 ? ~А2)) и проверим с помощью таблиц истинности, является ли это выражение тождественно‑истинным. Табл. 10 показывает, что оно будет таковым. Пользование таблицами истинности для определения следования заключения из посылок, однако, весьма громоздко. При четырех пропозициональных переменных таблица будет иметь 16 строк, при пяти – 32 строки и т. д. Поэтому в логике разработаны методы аналитического обоснования следования заключения из посылок – путем преобразования формул. В нашем примере обращение к одному из аналитических методов будет выглядеть так (над знаками равенства проставлены номера шагов в получившейся цепочке равенств; наружные скобки в формулах, подвергающихся преобразованиям, опущены). — 42 —
|