|
Это означает, что у самого Буля булевой алгебры не было . Она появляется, конечно, не в виде абстрактной алгебраической системы, а в виде содержательных интерпретаций на классах и высказываниях – лишь у Ст. Джевонса (см. выше. гл. 2). Но от Буля ведет свое начало тип алгебраических систем, переменные которых могут пониматься как двоичные переменные и формулы которых принимают только одно из тех же самых двух значений (поэтому эти переменные и формулы сейчас нередко называют булевыми). К системам такого рода принадлежит и булева алгебра. В этом смысле Буль действительно стоит у ее истоков, что и оправдывает ее название[57]. Теоретико‑множественная интерпретация (на классах) Введем в рассмотрение некоторую область предметов – универсальный класс V (ср. гл. 2). Будем рассматривать всевозможные классы (множества), состоящие из предметов универсума V, то есть его подмножества. Введем также пустой класс Л. На подмножествах множества V, включая и сами V и Л, обычным образом определим операции взятия дополнения к произвольному классу Л, пересечения двух произвольных классов A и B и их объединения (см. примечание 15 на с. 47). Истолкуем пропозициональные переменные булевой алгебры как переменные, значениями которых являются классы; операции ~, &, V будем понимать соответственно как ', ?, ? и следовательно, формулы ~?, (? & ?), (? V ?) как формулы логики классов ?', (? ? ?) и (? ? ?), а 1 и 0 – как V и Л. В соответствии с определением V это приведет к истолкованию выражений вида (? ? ?) и (? ? ?) как совпадающих по смыслу с формулами вида (?' ? ?) и ((?' ? ?) ? (? ? ?'))‑ Тогда формулы рассмотренного нами исчисления обратятся в формы классов [58], так как при всякой подстановке каких‑то значений вместо всех переменных‑ данной формулы мы будем получать некий класс. Равенства ? = ?, где‑ ? и ? – формы классов, обращается в истинное высказывание, если при данной подстановке значений на места всех переменных, имеющихся в а и ?, формы а и ? переходят в точности в один и тот же класс[59]. Если это имеет место при любой подстановке такого рода, равенство считается верным. Нетрудно проверить, что все 17 схем аксиом [а] при данной интерпретации оказываются верными равенствами. Возьмем, например, равенство 13. При интерпретации оно приобретает вид (а')' = а, что очевидно верно, какой бы класс ни взять в качестве а: дополнение к дополнению к данному классу совпадает с данным классом (это ясно видно из рис. 2, где класс A представлен кругом, универсальный класс – квадратом, в который помещен круг. а дополнение к классу A заштриховано). Ясно также, что пересечение любого класса A с универсальным классом есть класс Л (схема аксиом 14), и тот же результат дает его объединение с пустым классом (схема аксиом 15) и т. д.[60]. — 47 —
|