|
В остальных двух дизъюнктивных формулах исследуемого выражения тоже «присутствует» закон исключенного третьего, поэтому каждая из них также тождественно‑истинна. Итак, B нашей трехчленной конъюнкции каждый член оказывается тождественно‑истинным. Вспомнив табличное задание операции конъюнкции (легко распространяемое на конъюнктивные формулы с произвольным числом членов), мы приходим к заключению, что наша результирующая формула тождественно‑истинна. Но, в силу транзитивности отношения равенства, исходная формула равна результирующей, значит, и она тождественно‑истинна. Чтобы у читателя не создалось впечатления, что аналитические методы обязательно приводят к столь пространным выкладкам, мы решим эту же задачу другим способом. Предварительно заметим, что равенство вида ((~а V ?) &(? V а)) = (~а V ?) &(? V ?) & (? V ?)) (*) является верным равенством, каковы бы ни были формы ?, ? и ? этом можно убедиться, производя его табличную проверку; равенство (*) можно вывести и непосредственно из наших постулатов – осуществить это преобразование мы предоставляем читателю). Возьмем конъюнкцию наших посылок и исключим из нее знаки ? : ((А1 ? ~А2) & (A3 ? А1)) = ((~А1 V ~А2) & (~A3 V A1)). Но в силу (*): ((~A1 V ~A2) & (~А3 V A1)) = ((A1 V ~A2) & (~A3 V A1) & (~A3 V ~A2)) (здесь роль ? играет формула A1 роль ? – формула ~A2 роль ? – формула ~A3)‑ Но очевидно, что из конъюнктивной формулы, сколько бы членов она ни имела, следует каждый ее член (так как не может быть, чтобы конъюнктивная формула была истинна, а какой‑либо ее член – нет). Значит, если конъюнкция наших посылок истинна, истинна и формула (~A3 V ~A2) (поскольку она есть один из членов трехчленной конъюнкции, равной конъюнкции посылок). Значит, (~A3 V ~A2) есть следствие из посылок. Но в силу определения (~A3 V ~A2) = (A3 ? ~A2)‑ Задача решена. Тождественно‑истинные высказывания служат для выражения логически правильных форм рассуждений. Для иллюстрации этого положения приведем решение задачи восходящей к немецкому логику и математику Э. Шредеру – одному из продолжателей алгебро‑логической линии исследований, начало которой было положено Булем[52]. «Один химик, имея в виду построить на этом дальнейшие заключения, выдвинул утверждение: «Соли, которые не окрашены, суть соли, которые не являются органическими телами, или суть органические тела, которые не окрашены». Другой химик с этим не согласился. Кто был прав?» В рассуждении первого химика можно выделить следующие элементарные высказывания (суждения): «Нечто есть соль», «Нечто есть органическое тело» и «Нечто окрашено». Все рассуждение можно представить в виде следующего сложного условного суждения: «Если нечто есть соль и (это нечто) не окрашено, то (это нечто) есть соль и не есть органическое тело или есть органическое тело и не окрашено». Заменив элементарные высказывания соответственно переменными А1 A2 и A3, а вместо логических союзов «и», «или» и «если..., то» употребив знаки &, V и ?, мы можем представить логическую форму этого сложного высказывания следующим выражением: ((А1 & ~A3) ? ((A1 & ~A2) V (А2 & ~A3))). Для решения спора между двумя химиками надо определить, представляет ли оно тождественно‑истинное высказывание. — 44 —
|