|
В логике исчислением обычно называют систему правил порождения объектов, допускающих осмысление (интерпретацию), и позволяющую выделять среди осмысленных объектов такие, которые в интерпретациях оказываются в каком‑либо разумном смысле истинными суждениями. В рассмотренном нами исчислении объекты возникают в два этапа: на первом с помощью пп. I и II порождаются формулы (и –с помощью п. V –их сокращения), на втором (п. III) из формул строятся равенства. Далее среди возникших таким образом объектов происходит отбор тех из них, которые в интерпретациях оказываются верными, отбор равенств[56], истолковываемых как суждения о свойствах элементов соответствующей булевой алгебры, выраженные в терминах ~, & и V. Этот отбор задается постулатами (п. IV); он основан на процедуре порождения верных равенств посредстве м правил вывода [b], исходя из равенств, представляющих собой аксиомы (согласно списку схем аксиом [а]). Проиллюстрируем механизм подобного порождения на приведенном выше (с. 64) примере доказательства равенства Шаг (1) состоял в следующем. Было взято равенство (A1 ? ~A2) = (~A1 V ~A2), верное по определению (п. V), и к нему применено правило вывода –замена равным [b] следующим образом: в ((A1 ? ~A2) & (A3 ? A1)) ? (A3 ? ~A2) часть (A1 ? ~A2) была заменена на формулу (~A1 V ~A2), в результате чего получилось верное равенство: Здесь роль ?, фигурирующей в формулировке правила замены равным, играло выражение (A1 ? ~A2)» роль ? – формула (~A1 V ~A2), роль Ф[а]–выражение ((А1 ? A2) & (A3 ? A1)) ? ( A3 ? ~A2). роль Ф[?] ‑ выражение ((~A1 V ~A2) & (A3 ? A1)) ? (A3? ~A2). На шагах (2) и (3) в последнем выражении была произведена аналогичная замена импликативных выражений равными им (в силу определения п. V) дизъюнктивными формулами. Читатель может самостоятельно проследить, как применялось правило замены (и правила, выражающие симметричность и транзитивность равенства) на всех шагах доказательства, приведенного на с. 64–65. Заметим, что на некоторых шагах правило замены использовалось несколько раз. Вернемся, однако, к логической интерпретации. Как мы говорили, операциям ~, &, V соответствуют отрицание, конъюнкция и (слабая, неразделительная) дизъюнкция – соединительно‑разделительный союз «или». Как мы увидим ниже, при интерпретации яа классах эти операции истолковываются как взятие дополнения к классу, пересечение и объединение двух произвольных классов. В исчислении, которое разработал сам Дж. Буль и которое истолковывалось им прежде всего как теория классов (ср. ниже третью интерпретацию), использовалась не операция объединения классов, а так называемая симметрическая разность (объединение двух классов с исключением их общей части), а в случае интерпретации на высказываниях – строгая дизъюнкция, то есть операция, соответствующая союзу «или» в разделительном смысле (в разговорном языке передаваемом оборотом «или..., или», «либо..., либо»); если обозначить операцию строгой дизъюнкции знаком ? то запись (а ? ?) означает, что это строго‑дизъюнктивное высказывание (форма высказывания) истинно тогда, и только тогда, когда один член дизъюнкции, безразлично какой, истинен, а другой ложен. Если в перечне схем аксиом [а] изложенного нами исчисления заменить знак V всюду, где он встречается, знаком ?, то некоторые равенства станут неверными (например, «проваливаются» оба закона Де Моргана). — 46 —
|