Жар холодных числ и пафос бесстрастной логики

Значения знаков ? и ? вытекают из этих таблиц. В силу того, что (? ? ?) есть сокращение для (~? V ?), (? ? ?)–сокращение для ((~? V ?) & (? V ~?)); можно считать, что знаки ? и ? задаются таблицами 4 и 5 соответственно.

Поясним, как строится, например, табл. 5. Мы начинаем с того, что строим колонку для формулы ~а, пользуясь табл. 1, задающей операцию (функцию) отрицания; затем, пользуясь табл. 3, определяющей функцию, называемую дизъюнкцией, строим колонку для формулы (~? V ?) аналогичным образом строится колонка для формулы (? V ~?) наконец, опираясь на табл. 2, задающую функцию, называемую конъюнкцией, мы строим колонку для конъюнкции ((~? V ?) & (? V ~?)) Задание функции ? получено: его дают две первые левые (аргументные) колонки табл. 5 и ее крайняя правая колонка.

Задав описанным способом интерпретацию пропозициональных переменных и связок, мы тем самым получаем интерпертацию и для любой формулы[46]: каждая формула осмысливается как функция (таблица), которая может быть построена по данной формуле.

Возьмем, например, формулу (A1 & (A2 V ~A1)) и определим, какую функцию она задает, построив соответствующую таблицу (табл. 6).

Построим таблицу для формулы (А1& ~(А2 V A1))» проверку правильности которой мы выше предоставили читателю. Мы получим табл. 7.

Из нее видно, что эта формула принимает значение 0 при любых значениях своих аргументов. Она называется поэтому тождественно равной нулю. Если мы возьмем отрицание только что рассмотренной формулы, то есть формулу ~(А1 & ~(А2 V A1)), то очевидно, что она задает функцию, которая принимает значение 1 при любых значениях своих аргументов, то есть функцию, тождественно равную единице.

Функции, тождественно равные нулю, неотличимы друг от друга: ведь какие бы значения ни принимали аргументы (и сколько бы их ни было), функции эти все равно принимают одно и то же значение, то есть ведут себя как константы–постоянные. То же самое можно сказать и о функциях, тождественно равных единице. Учитывая это, функции, тождественно равные нулю, мы отождествим с константой 0, а функции, тождественно равные единице, с константой 1 (и, следовательно, будем считать, что значением первой константы является число 0, а второй – число 1).

Для завершения интерпретации нам осталось только установить, при каких условиях равенство ? = ? следует признать верным (истинным). Будем считать, что ? = ? есть верное равенство, если ? и ? задают одну и ту же функцию, то есть, что если построить таблицы, соответствующие формулам ? и ?, таблицы эти полностью совпадут[47].