Жар холодных числ и пафос бесстрастной логики

В данной же системе обе операции, конъюнкция и дизъюнкция, дистрибутивны одна относительно другой (схемы аксиом 5 и 6). Смысл законов Де Моргана[40] (схемы аксиом 9 и 10) можно передать фразами: «Отрицание конъюнктивной формулы означает дизъюнкцию отрицаний ее членов»; «Отрицание дизъюнктивной формулы означает конъюнкцию отрицаний ее членов». Смысл схем аксиом, выражающих остальные законы, непосредственно ясен. Заметим лишь, что они служат эффективным средством упрощения формул рассматриваемой формальной системы, то есть построения по данной формуле таких равных ей формул, которые проще, чем исходная (в том смысле, что содержат меньшее число вхождений логических связок); ср. ниже, с. 75–76.

[b]. Правила вывода.

Если верно равенство ? = ?, то верно и равенство Ф[?] = Ф[?]. Здесь Ф[?] есть произвольная формула, содержащая в качестве своей части, формулу ? (аналогично понимается и Ф[?]). Это – правило замены равным (ср. выше с. 42), но «приуроченное» специально к нашему формальному аппарату. Смысл правила состоит в том, что в произвольной формуле Ф[?], в которую входит ?, можно ? в любом ее вхождении заменить на какую угодно равную ей формулу ? и в результате получится формула Ф[?], равная формуле Ф[?][41].

В дополнение к этому правилу мы будем в процессе переработки равенств пользоваться известными свойствами отношения равенства – рефлексивностью (для любой формулы ? справедливо ? = ?), симметричностью (для любых ? и ? из ? = ? следует ? = ?) и транзитивностью (если ? = ? и ? = ?, то ? = ?)[42]. Таким образом, процедуры вывода в данном исчислении представляют собой обычные тождественные преобразования.

V. Определения.

Записи вида (? ? ?) и (? ? ?) суть сокращения для формул вида (~? V ?)[43] и ((~? V ?) & (? V ~?)).

Приведенное исчисление представляет собой исчисление равенств формул определенного вида – исчисление, которое в алгебраических терминах носит название исчисления равенств булевых выражений[44]. Оно сформулировано нами как неинтерпретированное исчисление, поскольку при его развертывании не было указано, из какой же области следует брать значения пропозициональных переменных, как следует понимать логические связки и константы 0 и 1, какой смысл имеют формулы и как нужно понимать содержание термина «верная формула».

Дадим теперь первую интерпретацию этого исчисления – функциональную.

Функциональная интерпретация

Пропозициональные переменные истолковываются как переменные для чисел 0 и 1 (то есть каждая из переменных может принимать только эти два значения). Сложные формулы (формулы, отличные от пропозициональных переменных) интерпретируются следующим образом. Каждая связка понимается как функция, которая значениям аргументов (аргумента) – нулю или единице – ставит в соответствие значение функции (которое тоже может быть только либо нулем, либо единицей). Значения связок строятся на основе табличных определений (табл. 1, 2, 3)[45].