|
Нетрудно проверить, что каждая из 17 схем аксиом задает верное равенство. Проверим это, например, для схемы аксиом 6 (табл. 8). Мы видим, что колонки нулей и единиц для схем формул (? V (? & ?)) и ((а V ?) & (? V ?)) создают, что означает: при любом выборе ?, ?, ? они переходят в пару формул, задающих одну и ту же функцию. Таким образец, можно сказать, что схема аксиом 6 в нашей интерпретации оказывается схемой верных равенств. Наконец, нетрудно проверить (эту проверку мы предоставляем читателю), что, действуя по нашим правилам вывода, мы из верного равенства всегда будем выводить верное же равенство. В силу оказанного мы можем мыслить задаваемый нашим исчислением процесс порождения верных равенств. В этом процессе участвуют схемы аксиом, каждая из которых порождает бесконечно много верных равенств, и правила [b], при каждом применении! которых к верным равенствам порождается верное равенство. Как конкретно проходит подобный процесс порождения, мы покажем в связи со следующей интерпретацией – логической. Логическая интерпретация (на высказываниях) Будем понимать под высказыванием выражение некоторого языка (безразлично какого –естественного, например русского, или какого‑либо искусственного, например алгоритмического, применяемого в программировании! ЭВМ), которое либо истинно, либо ложно (и не может быть тем и другим одновременно). Назовем истинность («истинно») и ложность («ложно») истинностными значениями высказываний. Будем считать, что на место пропозициональных переменных в формулы подставляются высказываний при этом если подставляется высказывание, обладающее истинностным значением «истинно» (соответственно «ложно»), то его же принимает и та пропорциональная переменная, на место которой подставлено данное высказывание. Связки определим так же, как и в первой интерпретации, только вместо 1 в таблицах будем вписывать букву «и» («истинно»), а вместо 0 – «л» («ложно»). Тогда операция ~ окажется операцией обычного отрицания высказываний, формула ~? походит в истинное высказывание, если а при данной подстановке истинностных значений вместо всех своих переменных переходит в ложное высказывание, и в ложное высказывание, если а переходит в истинное высказывание[48]; операция & (конъюнкция) окажется соответствующей логическому союзу «и» и будет порождать истинное высказывание вида (? & ?) тогда, и только тогда, когда а и ? истинны (то есть интерпретируются истинными высказываниями); операция V будет соответствовать слабой дизъюнкции, то есть соединительно‑разделительному союзу «или» естественного языка: формула (а V ?) принимает значение «истинно» тогда, когда хотя бы одна из двух формул, а, ?, переходит в истинное высказывание. Что касается введенных по определению знаков ? и ?, то первый из них соответствует логическому союзу «если..., то» (логическая операция импликация ), а второй – союзу «если, и только если,..., то» (или «тогда, и только тогда, когда») (логическая операция эквиваленция). — 40 —
|