|
Нетрудно убедиться, что (? ? ?) переходит в ложное высказывание, когда а (посылка, или антецедент, импликативного выражения) принимает значение «истинно», а ? (заключение, или консеквент) – значение «ложно», в остальных же случаях импликативное выражение истинно; эквивалентность (а ? ?) переходит в истинное высказывание в том, и только том, случае, когда а и ? принимают одно и то же истинностное значение[49]. При данной интерпретации каждая формула оказывается формой высказывания, или пропозициональной формой, то есть выражением, переходящим в высказывание (истинностное значение) при подстановке каких‑то высказываний (истинностных значений) вместо всех ее пропозициональных переменных. Значение такой формы для всех возможных подстановок такого рода задается таблицей истинности, которая строится по данной формуле. Так, форме (~A1 & (A2 V ~A1)) соответствует следующая таблица (табл. 9; ср. табл. 6). В табл. 9 мы опустили промежуточные колонки, которые необходимы для того, чтобы получить ее правую колонку (они получаются из табл. 6 заменой «1» на «и», а «0» на «л» в колонках для формул ~А1 и (A2 V ~A1)). Формулам, тождественно‑равным единице (в предшествующей интерпретации), здесь соответствуют формы высказываний, принимающие значение «истинно» при любых значениях своих пропозициональных переменных (их называют тождественно‑истинными формами высказываний или просто тождественно‑истинными высказываниями ); любая из таких форм может считаться интерпретацией константы 1. Формулам же, которые в предшествующей интерпретации были тождественно‑равными нулю, теперь соответствуют тождественно‑ложные высказывания (тождественно‑ложные формы высказываний), и любое из таких высказываний есть интерпретация константы 0. Равенство двух формул означает утверждение, что справа и слева от знака равенства стоят формы высказываний, принимающие одно и то же истинностное значение при любых значениях входящих в них пропозициональных переменных (равносильные формы высказываний); если это утверждение справедливо, то данное равенство 5 следует признать верным, в противном случае оно неверно. В данной интерпретации особую роль играют тождественно‑истинные высказывания. Некоторые из них выражают фундаментальные закономерности мышления. Таковы, в частности, формы высказываний ~(а & ~а) и (а V ~а) которые выражают логические законы, называемые соответственно законом противоречия и законом исключенного третьего (импликативное выражение (а ? а) соответствует закону тождества)[50]. Тождественно‑истинные высказывания используются для определения важного понятия логического следования. Поясним это понятие. — 41 —
|