|
Проведал соответствующие преобразования, на этот раз без объяснений (мы предоставляем читателю самостоятельно определить те схемы аксиом нашего исчисления, которым мы пользуемся на каждом шаге). В полученной на последнем шаге двучленной конъюнкции в каждом члене (представляющем собой дизъюнкцию пропозициональных переменных или их отрицаний) имеется 5 обязательно какая‑то переменная и ее отрицание. Следовательно, оба члена конъюнктивной формы тождественно‑истинны и, значит, тождественно‑истинна и она сама. Итак, рассуждение первого химика было логически правильным, а его оппонент допустил ошибку. Обратим теперь внимание на то, что в обеих рассмотренных интерпретациях фигурировали множества элементов, являющихся областями значений пропозициональных переменных; именно на этих множествах получали определение операции ~, &, V, свойства которых были ранее установлены равенствами 1–17 из пункта IV, и в этих же множествах находились элементы – результаты применений операций (последнее свойство называется замкнутостью множества относительно данных операций). Тем самым эти множества составляют то, что называется булевыми алгебрами. Булева алгебра–это любое множеством объектов, для которых определены одна одночленная (одноместная, унарная) операция (~) и две двучленных (двуместных, бинарных) операции (&, V) причем множество М замкнуто относительно этих операций; в нем имеются объекты, соответствующие константам 0 и 1 рассмотренного нами исчисления (нуль и единица булевой алгебры); одночленная операция, которую мы назвали отрицанием, подчиняется закону снятия двойного отрицания, а двучленные операции, которые мы назвали конъюнкцией и дизъюнкцией, обе коммутативны, ассоциативны, дистрибутивны одна относительно другой, подчиняются законам поглощения и, вместе с отрицанием, законам Де Моргана, а также законам, в которых фигурируют 0 и 1 (законы 14–17) (ср. с. 55)[53]. В первой из наших интерпретаций булевой алгеброй является множество из двух элементов – 0 и 1, во второй – множество истинностных значений (впрочем, можно считать, что булевой алгеброй здесь было множество высказываний[54]. понимаемых, однако, так, что высказывания, имеющие одно и то же истинностное значение, не различаются)[55]; как мы убедимся ниже, имеются и другие интерпретации булевой алгебры. Формальный аппарат, изложенный в пп. I–IV (пункт V, как говорят, не расширяет его возможностей), можно понимать как теорию абстрактной булевой алгебры – булевой алгебры как любого множества объектов (носителя), взятого вместе с семейством операций. определенных на этом множестве, которое удовлетворяет всем требованиям данного аппарата, причем как теорию в узком смысле: как некоторое исчисление (равенств). Такую теорию следует отличать от теории булевых алгебр в широком смысле, в которой исследуются свойства приведенного формального аппарата (и аналогичных ему построений) и его интерпретации, формализации булевых алгебр средствами тех или иных логических систем, обобщения понятия булевой алгебры и т. д. — 45 —
|