|
III. Равенства. Если ? и ? – формулы, то ? = ? – равенство. Ничто иное равенством не является. Условимся о сокращении: вместо двух равенств ? = ? и ? = ? разрешается писать просто ? = ? = ? («цепочка равенств») Аналогично будут пониматься и более длинные цепочки. Так, запись ? = ? = ? = ? имеет смысл ? = ?, ? = ?, ? = ?[38] IV. Постулаты. [а]. Схемы аксиом. 1. (? & ?) = (? & ?) (закон коммутативности для конъюнкции). 2. (? V ?) = (? V ?) (закон коммутативности для дизъюнкции). 3. ((? & ?) & ?) = (? & (? & ?)) (закон ассоциативности, или сочетательности, для конъюнкции). 4. ((? V ?) V ?) = (? V (? V ?)) (закон ассоциативности для дизъюнкции). 5. (? & (? V ?)) = ((? & ?) V (? & ?)) (закон дистрибутивности, или распределительности, конъюнкции относительно дизъюнкции). 6. (? V (? & ?)) = ((? V ?) & (? V ?)) (закон дистрибутивности дизъюнкции относительно конъюнкции). 7. (? & (? V ?)) = ? (первый закон поглощения). 8. (? V (? & ?)) = ? (второй закон поглощения). 9. ~(? & ?) = (~? V ~?) (первый закон Де Моргана). 10. ~(? V ?) = (~? & ~?) (второй закон Де Моргана). 11. (? & ?) = ? (закон идемпотентности для конъюнкции). 12. (? V ?) = ? (закон идемпотентности для дизъюнкции). 13. ~~? = ? (закон снятия двойного отрицания). 14. (? & 1) = ? (закон отбрасывания единицы). 15. (? V 0) = ? (закон отбрасывания нуля). 16. (? & ~?) = 0 (закон противоречия, выраженный в форме приравнивания противоречия нулю). 17. (? & ~?)=1 (закон исключенного третьего, выражений в форме равенства). Перечисленные постулаты[39] являются не аксиомами, а схемами аксиом. Это значит, что, каждый постулат задает бесконечное множество аксиом определенной структуры. Так, схема аксиом 1 задает аксиомы: (А1 & А2) = (A2 & A1), ((А1 V ~A2) & ~A1) = (~A1 & (A1 V ~A2)) и т.д.; аксиомы – это равенства, принимаемые в качестве исходных. Схемы аксиом 1 и 2 задают свойство перестановочности членов в конъюнктивных и дизъюнктивных формулах. Схемы аксиом 3 и 4 выражают ассоциативные законы, подобные ассоциативным законам школьной алгебры, где, как известно, (а • b) • с = а ‑ (b • с) и (а + b) + с = a + (b + с). В школьной алгебре имеется только один дистрибутивный закон – закон дистрибутивности умножения относительно сложения: A • (b + с) = a • b + A • с , так как обычное сложение чисел не дистрибутивно относительно обычного умножения (то есть неверно, что для любых чисел а, b и с а + (b • с) = (а + b) • (а + с)) . — 37 —
|