|
В нашем случае, логически нет оснований утверждать, будто всякое строение конечного множества может быть преобразовано во всякое другое парными перестановками элементов. Натур-философски же естественно думать о формах конечных множеств, как о неприводимых друг к другу, качественно различных между собою, хотя бы они и подводились под одно и то же количественное число. Может быть, с этой точки зрения следовало бы пересмотреть вопросы молекулярной, атомной и, вероятно, электронной дисимметрии, т. е. в плоскости числа, а не пространства; биология, в частности вопросы наследственности, где существенным признается число хромосом, теория мутаций и т. д., в будущем признает необходимостью воспользоваться обсуждаемым кругом понятий. Но как бы то ни было, а естествоиспытателю никак не может представляться самоочевидным, будто два конечные множества одной мощности тем самым и подобны 1 между собой. Счет есть последовательная установка соответствия между единичными элементами множества и последовательными числами натурального ряда. Следовательно, в результате счета получается число порядковое, но отнюдь не количественное. Но ни из чего не видно, что, сосчитывая два равные по количеству множества, мы непременно получим в обоих случаях одно и то же порядковое (не количественное — повторим) число; о возможности же всегда, при равных мощностях, получать один и тот же кратный тип порядка — говорить тем более не приходится. V Между тем, с различением типов и мощностей, и в частности — порядковых и количественных чисел, мы вынуждены считаться, как только теоретические калькуляции алгебры или теории чисел мы соотносим со счетом в действительности: повидимому, редко задумываются, что результат алгоритмических калькуляций может быть переотносим на множества, как предмет счета, лишь синтетическим суждением, и возможность такого переноса вовсе не подразумевается сама собою. В алгебре и в теории чисел в большинстве случаев мы производим действия над числами количественными и потому не имеющими типа, лишенными строения, а следовательно — и неизобразимыми. Это — вообще числа. Покуда они остаются «вообще», изображать их в частности — нет нужды; но за то они и неприменимы ни к какому конкретному множеству. Да мы и не знаем, как можно перейти от этих чисел «вообще» к числам «в частности», оставляя при этом числа безструктурными. А между тем, мы не обладаем непосредственной интуицией мощности и, следовательно, не способны обозначить и назвать мощность (количественное число), как таковую. Чтобы быть узнано, познано, названо и обозначено, число должно быть расчленено; а без расчленения есть не более как хаотическое множество, неопределенность. Но это расчленение, по следам естественного расчленения множества (как объект природы, множество непременно имеет свою форму, значит — и соответственное членение), утверждает порядок множества. А потому, отвлеченная схема такого множества, по самому приему образования ее, обязательно есть тип порядка, идеальное число, в частности — число порядковое, но никак не количественное. Считая,— мы никогда не по — 464 —
|