Сочинения в четырех томах. Том 2

То, что ты в Космосе видишь, есть только

божественный отблеск, А над богами царит сущее вечно Число17*

Светом правильного понимания числа обязана новая наука Георгу Кантору18* Он рассматривает «целые чис­ла» и порядковые типы как универсалии, которые отно­сятся ко множествам и получаются из них, когда делает­ся абстракция от состава элементов. Каждое множество вполне отличных друг от друга вещей можно рассматри­вать, как некоторую единую вещь для себя, в которой рассматриваемые вещи представляют составные части или конститутивные элементы. Если делают абстракцию как от состава элементов, так и от порядка, в котором они даны, то мы получаем количественное число, или мощ­ность множества; здесь мы имеем общее понятие, в ко­тором элементы, как так называемые единицы (Einsen), срастаются известным образом в такое органическое, единое целое, что ни один из них не представляет ка­кого-нибудь иерархического преимущества перед други­ми элементами. Если вышеуказанный акт абстракции совершается над некоторым данным, упорядоченным в одном или нескольких отношениях (измерениях) мно­жеством,— лишь в отношении состава элементов, так что их взаимный порядок сохраняется и в том общем понятии, которое образует таким образом некоторое единое органическое целое, состоящее из различных единиц, сохраняющих между собой — в одном или не­скольких отношениях — определенный взаимный поря­док, то мы получаем благодаря этому такое universale, которое я называю вообще типом порядка, или идеаль­ным числом, а в частном случае вполне упорядоченных множеств — «порядковым числом». Таким образом, «количественные числа, как и типы порядка, представ­ляют простые абстрактные образования; каждое из них есть истинное единство {?????), потому что в нем воедино связано множество и многообразие единиц (Einsen). Если нам дано множество М, то элементы его следует пред­ставлять себе раздельными. В умственном же отображе­нии его, которое я называю его типом порядка, единицы соединены в один организм. В известном смысле можно рассматривать каждый тип порядка, как некоторый

1

compositium19* из материи и формы. Заключающиеся в нем абстрактно отличные единицы дают материю, между тем как существующий между ними порядок соответст­вует форме».

Евклид «рассматривает единицы в числе столь же раздельными, как и элементы в том дискретном множе­стве, к которому он его относит. По крайней мере в евк-лидовском определении не хватает прямого указания на единый характер числа, между тем как это безусловно су­щественно для него». «Мы должны поэтому представлять себе под я-кратным типом порядка идеальный образец (paradigma) я-кратно упорядоченного множества, как бы «-мерное целое действительное число, т. е. некоторое ло­гически, органически-единое соединение единиц, упоря­доченных в ? различных и независимых друг от друга отношениях, которые здесь нужно называть направле­нием» 20*.