Сочинения в четырех томах. Том 2

Если бы теория кратко-протяженных типов порядка была достаточно разработана, то одним числом выража­лось бы сложнейшее строение объектов природы, и по­знанию действительности, как царству форм, было бы выковано могущественное орудие. Но однако, не этот круг вопросов служит сейчас предметом нашего внимания.

IV

Тип порядка и мощность множества логически раз­личны; но не следует думать, будто этим логическим различием можно пренебречь хотя бы в практическом пользовании; так обстояло бы лишь при взаимоодно­значном соответствии мощности и типов порядка. Но этого соответствия нет, и данная мощность принадлежит не одному, а многим типам порядка.

В соотношении типов кратных это очевидно; бес­спорно это также и в отношении типов простых, но трансфинитных; даже типы множеств благоустроен­ных,— порядковые числа,— от их мощностей,— чисел количественных,— должны быть различаемы вовсе не только в порядке отвлеченно-логическом. Дело в том, что лишь в отдельных случаях парными перестановками элементов два множества различного строения, но оди­наковой мощности могут быть сделаны подобными друг другу, т. е. приведены в конформное соответствие; следовательно, вообще говоря, они не подводятся под одно и то же порядковое число.

1

Таковы множества трансфинитные. Им резко проти­вополагаются множества конечные, относительно кото­рых различение порядковых и количественных чисел признается имеющим значимость только принципиально логическую: каждому количественному числу соответст­вует, согласно общему убеждению, одно, и только одно, порядковое.

Это убеждение предполагает всегдашнюю возмож­ность перевести всякое конечное множество последова­тельными парными транспозициями из одного порядка во всякий другой. Если у трансфинитных множеств дан­ное строение может быть трансцендентным процессу парных перестановок, то в отношении конечных мно­жеств такая возможность загодя исключается, хотя нико­гда и никем такое исключение не было обосновано, одно­значность соответствия количественных и порядковых чисел в области конечной, впрочем, не только не дока­зана, но и существенно недоказуема, как всякая вера в природу будущего или вообще не дошедшего до созна­ния опыта над действительностью. Ведь дело здесь идет не о связи между собою понятий, уже установленных, а о свойствах действительности, а ргіогі неустановимых: множество есть конкретное содержание различных от­влекаемых от него универсалий, точка приложения умственных операций, и потому мы не можем заранее из всякого возможного будущего опыта исключить свой­ства, логическая немыслимость которых отнюдь не до­казана.