Абстракция в лабиринтах познания

Аристотель, по-видимому, первым начал рассматривать абстракцию как научный метод анализа явлений. И первой абстракцией, которой он пользовался неявно, была абстракция отождествления. Не случайно он говорит, что “мы познаём все вещи постольку, поскольку они некоторым образом представляют одно и то же (курсив мой – М.Н.) и поскольку существует что-нибудь всеобщее”[245].

Рассматривать какие-либо вещи с некоторой точки зрения (“некоторым образом”) как “одно и то же” – значит явно или неявно вводить отношение типа равенства на совокупности (множестве) этих вещей и, как следствие, определять через абстракцию (отождествления) и классы равных в этом отношении вещей (так называемые классы абстракции) и – что гносеологически не менее важно – понятие об абстрактном (общем) объекте такого класса (например, понятие об “общем треугольнике” в отличие от данного конкретного треугольника АВС, начерченного мелом на классной доске).

Правда, общее (общий термин), по Аристотелю, “не обозначает некоторую данную вещь”, а только “некоторое данное качество вещи”. Однако общее “с логической точки зрения идёт раньше”, чем любая единичная вещь (сущность), и “более просто”, чем она. Наука же, во-первых, имеет дело с тем, что логически раньше, и, во-вторых, с тем, что является более точным, а более точным является более простое [246]. И хотя Аристотель говорит, что “мы не можем... принять, что есть некий дом [вообще ] наряду с отдельными домами”[247], объективно указанный выше двойной процесс абстракции имеет смысл лишь постольку, “поскольку существует (курсив мой – М.Н.) что-нибудь всеобщее”, физически как бы “растворённое” в вещах и силой абстракции представленное как реалия в системе наших понятий. Таким образом, и об абстрактном мы вправе говорить как о сущем, ведь иначе научное познание, которое всегда направлено “на вещи общие” (сиречь – абстрактные), лишилось бы смысла.

Следовательно, математическим объектам “можно непосредственно приписывать бытие... и притом – бытие с такими свойствами, какие для них указывают математики”[248]. И поскольку эти объекты суть “чистые формы абстракции”, всё, что мы хотим доказать о них, не может быть (единичной) сущностью, а только – абстракцией. Это означает, что в математике доказательства на примерах возможны, если только примеры имеют общий (абстрактный) характер. И по отношению к чувственным” объектам “могут иметь место и рассуждения и доказательства, не поскольку они чувственные, а поскольку у них – именно данный характер”[249].

Иными словами, доказательство теоремы о сумме внутренних углов треугольника не может относится к данному чертежу самому по себе, взятому как посылка доказательства, то есть к “этому вот” треугольнику АВС, начерченному мелом на доске, но – только к абстракции “треугольник вообще” (или “общий треугольник”). Что же касается материальных свойств чертежа, то это его привходящие свойства, которые геометрия как наука не изучает. Рисуя на доске данный треугольник АВС, мы не создаём “общий треугольник” как чистую форму абстракции, так что эта единичная посылка является в данном доказательстве посторонней. Начерченный треугольник можно стереть с доски, но “общий треугольник” стереть нельзя. А к тому, что стереть нельзя, как раз и относится доказательство.