Абстракция в лабиринтах познания

Поскольку анализу подлежат только эти числа, естественно постараться вычеркнуть из Е все посторонние словосочетания, не являющиеся конечными определениями чисел. И Ришар говорит: вычеркнем из Е все словосочетания, которые не являются такими определениями, и тогда оставшуюся часть можно будет упорядочить в счётную последовательность конечно определимых вещественных чисел. И это будет последовательность, содержащая все вещественные числа, которые можно определить с помощью конечного множества слов.

Ясно, что решение этой задачи предполагает онтологическую индивидуацию всех точек числового континуума (о чём уже говорилось выше) и в этом смысле априорную информацию о каждой из этих точек. Ведь, не зная наперёд всех элементов континуума, мы не сможем ответить на вопрос, какое из словосочетаний из Е является определением вещественного числа, а какое нет. А без этого невозможно вычеркнуть все посторонние словосочетания из Е. Иначе говоря, условие парадокса (и, на мой взгляд, это очень важный момент!) предполагает заведомое знание вещественных чисел “самих по себе”, поскольку процесс вычеркивания посторонних словосочетаний предполагает идентификацию вещественного числа с его описательным определением, а «идентифицировать можно лишь то, что уже известно»[178]. Таким образом, первой предпосылкой парадокса Ришара является абстракция онтологической индивидуации вещественных чисел. Решая задачу о составлении последовательности всех конечно определимых вещественных чисел, мы должны допустить что понятие “множество всех вещественных чисел” имеет смысл, независимый от их конечной гносеологической определимости.

Но допустим, что процедура вычеркивания разрешима, что мы обладаем своего рода алгоритмом, позволяющим “просеять” все те буквенные размещения (из множества слов), которые не определяют вещественных чисел. Можем ли мы в этом случае с полной уверенностью сказать, что в результате процедуры прсеивания (вычеркивания посторонних словосочетаний) получается последовательность всех определимых вещественных чисел? Построение вещественного числа, конечно-определимого, но не входящего в эту последовательность (а в этом-то и состоит парадокс) даёт отрицательный ответ. И, как заметил уже сам Ж. Ришар, это немедленно наводит на мысль, что процедура вычеркивания (просеивания) не является эффективной (алгоритмически разрешимой), так что множество Е не является вполне определенным (перечислимым) множеством [179].

Идея проводить существенное различие между понятием эффективной перечислимости и классическим понятием счётности принадлежит Э. Борелю. В различении этих понятий он видел решение парадокса Ришара. И хотя Борель не исключал индивидуацию элементов классически счётных множеств, он, по-видимому, не слишком ценил такую индивидуацию в виду её трансцендентного характера. Зато c понятием эффективной перечислимости он связывал своеобразный “принцип наблюдаемости”. Преимущество этого понятия он усматривал в том, что оно менее метафизично поскольку опирается исключительно на наблюдаемую реальность [180]. Правда, Борель не выделяет гносеологическую индивидуацию в связи с этой наблюдаемой реальностью, как и вообще не делает различия между онтологической и гносеологической индивидуацией. Но путь к понятию “вычислимых точек” континуума был всё-таки намечен. Как заметит позднее Вейль, классическому “понятию точки континуума недостаёт опоры в наглядном созерцании” [181].