Абстракция в лабиринтах познания

К примеру, одна из задач классической процедуры “сечения”, принятой в основах анализа, – индивидуализировать каждую точку пространственной прямой, представить однородную “бесточечную протяженность” как точечное множество индивидов, сопоставив каждому индивиду его “числовой образ”. А для этого приходится обращаться к трансфинитным теоретико-множественным абстракциям, только благодаря которым гносеологически неиндивидуализируемые элементы “реального континуума” преобразуются в индивиды абстрактного континуума вещественных чисел.

Естественно, что индивидуация здесь мыслится без какой-либо опоры в конструктивных условиях опыта. Это онтологическая индивидуация, если допустимо говорить об онтологии, основанной на совокупности абстрактных гипотез. Но именно под влиянием этих гипотез сформировался взгляд на равносильность двух континуумов – эмпирического и теоретического, что, конечно же, не является ни эмпирическим, ни теоретическим фактом, а служит философским постулатом [175].

Итак, полагая в основу теоретико-множественной точки зрения на континуум абстракцию множества, говоря, что любое множество однозначно определяется его элементами (аксиома объёмности), подразумевают, что вопрос об индивидуации элементов множества заведомо разрешён, то есть, что все элементы множеств как-то определены “индивидуальным образом”, так что целое – множество – “возникает” из его индивидуализированных элементов в мысленном акте их объединения.

Между тем, во многих математически важных случаях индивидуация элементов универсума или его частей и их элементов – это глубокая и трудная проблема. И хотя в анализе, как уже сказано, её условно принимают за решённую, берут как предпосылку, как исходную абстракцию, как постулат математических рассуждений, этим не всегда удаётся избежать противоречий. Об этом можно судить по известному рассуждению Ж. Ришара, приводящему к парадоксу, названному его именем [176]. Этот парадокс особенно выделял А. Пуанкаре как яркий пример порочности теоретико-множественных непредикативных определений. Но меня интересует здесь его другая, семантическая сторона, его связь с понятием семантической определимости [177] и, соответственно, с той ролью, которую в содержании этого парадокса играют абстракции онтологической и гносеологической индивидуации.

Рассуждение Ришара начинается с выяснения вопроса о конечной определимости вещественных чисел посредством конечного множества слов, для чего используется счётно-бесконечное множество слов в некотором алфавите. Назовём его множеством Е. Очевидно, что хотя в Е будут входить и бессмысленные сочетания слов, в нём будет также представлено словами всё, что может быть осмысленно высказано с помощью конечного множества слов, в том числе и счётное множество всех конечных определений вещественных чисел.