Абстракция в лабиринтах познания

К примеру, у нас, конечно, найдётся достаточно оснований совокупность электронов рассматривать как “совокупность реальных объектов”, а не фикций. Но эта совокупность вряд ли будет множеством по Кантору, так как здесь не обеспечивается (ни онтологическая, ни гносеологическая) индивидуация не только в силу принципиальных границ возможности наблюдения, но и в силу принципиального характера (природы) самих элементов.

Условие индивидуации элементов в качестве условия “быть множеством” является, по-видимому, первым из ряда всех последовавших затем (в эпоху аксиоматического оформления теории) условий, направленных на уточнение идеи множества. В нём неявно уже содержалось требование пересмотра интуитивного принципа свёртывания. Однако никакого конструктивного решения при этом не предлагалось. Бесконечные множества рассматривались в канторовской теории множеств посредством умозаключений такой же логической природы, как и умозаключения, применяемые при рассмотрении конечных множеств.

Индивидуация в форме, принятой Кантором, была гипотезой об онтологии. Именно гипотезой, поскольку, она была основана на очень сильных абстракциях, на представлении об элементах множеств как объектах “самих по себе”, то есть сводилась к “внутреннему свойству” множеств, независимо от тех предположений об отождествлении и различении, которыми руководствуются при построении этих множеств и их элементов. Выше я назвал такую индивидуацию онтологической индивидуацией.

И действительно, подобно Лейбницу и средневековым схоластам, Кантор обходит вопрос о гносеологическом смысле индивидуации. Он настаивает на необходимости индивидуации, но сознательно абстрагируется от эмпирической (в широком смысле) данности объектов как индивидов: сущность математики в её свободе, поэтому элементы множеств могут быть индивидуализированы в силу чисто логических оснований. Такими основаниями он действительно считал принцип исключенного третьего и абстракцию актуальной бесконечности.

В этом случае вопрос о гносеологическом смысле индивидуации не является, конечно, существенным: он игнорируется уже на первых шагах оформления классических абстракций, поскольку признание только гносеологической индивидуации существенно ограничило бы выразительные возможности теории. Но онтологическая индивидуация для теоретико-множественной математики остаётся важным философским принципом.

Напротив, в теориях, которые строятся на антропологических принципах (то есть идут от субъекта и его деятельности), например, в интуиционистской и конструктивной математике с их более слабыми абстракциями, в прикладной математике, в эмпирическом естествознании, где свобода допущений, как правило, ограничена условиями фактического построения объектов, роль индивидуации в гносеологическом смысле (я назвал её выше гносеологической индивидуацией) значительно возрастает: «Когда применяют выражение “совокупность реальных объектов”, имеют в виду, что объекты, из которых состоит совокупность, мысленно выделены из окружающей среды посредством непосредственного указания или посредством отчётливой характеризации их типа, что объекты, входящие в совокупность, существуют одновременно и устойчиво в течение некоторого промежутка времени и что они отчётливо отличимы друг от друга»[165]. И поскольку в этом случае речь идёт только о гносеологической индивидуации, появляется соблазн выставить тезис, контрарно противоположный канторовскому: “...разнообразие множества не является его внутренним свойством... для точного определения разнообразия нужно указать наблюдателя и его способность различения” [166].