|
4.6. Индивидуация и множество. Эту тему возродили для современной философии науки Б. Больцано и Г. Кантор в связи с учением о множествах. К сожалению, её значимость для канторовской теории множеств в результате долгих “критических сражений” теперь уже почти забыта, и в литературе утвердилась мысль, будто канторовское понятие множества «не связывается с фиксацией каких-либо определённых способов индивидуального описания тех объектов, которые охватываются этим понятием» [163]. Объясняют это обстоятельство системой представлений, порождаемых абстракцией актуальной бесконечности. А это означает, что онтологическую индивидуацию в расчёт не принимают, а мыслят индивидуацию только как понятие гносеологическое, связанное с каким-либо эффективным заданием (указанием) элементов множества, о чём уже говорилось выше. Но объяснить такую позицию можно и по-другому, имея в виду, что одним из основных принципов канторовской теории является принцип (аксиома) свёртывания, согласно которому, вообще говоря, для любого свойства можно рассматривать множество всех тех объектов (предметов), которые обладают этим свойством. Поэтому теорию множеств часто определяют как науку о произвольных множествах (классах или совокупностях) произвольных объектов. Замечу, однако, что такое толкование взаимного отношения свойств и множеств характерно скорее для традиционной логики, в которой (по инициативе логиков Пор-Рояля) постепенно утверждалась объёмная интерпретация понятий. При этом собственное содержание множеств (классов) рассматривалось весьма поверхностно, сами множества однозначно не определялись и достаточно было только суждения о принадлежности того или иного объекта к “известному” множеству, о котором сохранялось весьма “размытое” представление. Между тем, канторовская теория множеств родилась на стыке логики и математики, и предметом изучения в ней стали множества математических объектов, а вовсе не объектов произвольной природы. Для характеристики математических объектов индивидуация необходима и Кантор, конечно, это хорошо понимал, как понимал он и роль философии в решении проблемы индивидуации. “Я считаю, – писал он, – что метафизика и математика по праву должны находится во взаимосвязи и что в периоды их решающих успехов они находятся в братском единении” [164]. Известно, что со времён Кантора, Дедекинда и Вейерштрасса теория множеств была положена в основу не только математического анализа, но и многих математических теорий, называемых теперь классическими (в том смысле, который это слово получило в исследованиях по основаниям математики), в частности, – топологии, различных разделов абстрактной алгебры, теории функций, функционального анализа, и пр. В такой ситуации естественно должен был возникнуть вопрос об уточнении понятия “множество”. Думаю, не ошибусь, если скажу, что, по мысли Кантора, отнюдь не любая совокупность объектов могла называться множеством, а только такая, объекты которой можно было считать индивидуально определёнными хотя бы в онтологическом смысле (в смысле абстракции онтологической индивидуации), то есть “внутренне определенными” независимо от воли исследователя и даже от тех затемняющих обстоятельств, которые могут проистекать от “способов данности” нам этих объектов. — 71 —
|