Математика, философия и йога

Однако и «гуголлион» становится крошечным, когда речь заходит о Бесконечности. Работая с бесконечными числами, математики имеют дело с превосходящей любое воображение беспредельностью. Я имею в виду, что беско­нечность как понятие аналогична Осознанию как факту; это помогает оценить ее значимость.

Особый вклад в эту область внесли два человека: Дедекинд и Кантор. Дедекинд первым ввел представление о бес­конечности как о многообразии, или множестве, такого характера, что в нем есть определенная часть, содержащая столько же элементов, сколько их содержит все целое, — подобный пример мы рассматривали немного раньше. Когда Дедекинд перешел к формулировке своей теоремы о существовании в рамках этики, то, ставя вопрос о том, существует ли такая бесконечность, он взял в качестве при­мера человеческое мышление. В разуме возникает некая мысль, а затем может появиться мысль об этой мысли, потом третья мысль о второй и так далее; возникает после­довательность:

1 Мысль 1

2 Мысль 2

3 Мысль 3

n Мысль N

Во втором ряду столько же элементов, сколько их в первом. Кроме того, существует один элемент — то самое Я, — который не входит в последовательность мыслей. Та­ким образом, один ряд является однозначно соответствую­щей частью другого, то есть равен его полноте. Это значит, что человеческий разум потенциально бесконечен — не только в психологическом, но и в более глубоком смысле.

Сейчас мне хочется познакомить вас с математической индукцией — и не только для того, чтобы узнать новый математический факт. Это позволит нам лучше понять сам разум, так как индукция демонстрирует принцип выявления истины, чрезвычайно важный для всей математики и ее отношения к истине. Одновременно мы сравним этот принцип с законами обычной формальной логики. Пусть, например, этот круг включает в себя все смертные существа (см. рис. 20).

Рис. 20

Все люди смертны. Это равносильно утверждению о том, что люди (множество которых мы изобразим кругом меньшего диаметра) образуют некое подмножество класса смертных существ. Далее можно сказать, что Сократ (от­дельный элемент, обозначенный символом «X») — человек. Поскольку он входит в меньший круг, можно прийти к выводу о том, что Сократ смертен. Таков схематический способ изображения этого силлогизма [18]. В данном слу­чае мы воспользовались дедуктивной логикой: спустились из обширной области в более узкую методом исключения. Такая форма логики является не очень творческой, она больше пригодна для целей критического рассмотрения, анализа и так далее.