Математика, философия и йога

Сумма слагаемых: 1 4 9 16 ... n2 (n+1)2

Обратите внимание, что первая сумма равна 1, сумма первого и второго членов—4, сумма первых трех слагаемых — 9, сумма первых четырех — 16. Заметили ли вы зависи­мость между этими суммами и теми числами, которые обоз­начают количество слагаемых? Во всех случаях суммы равны квадратам этих чисел — довольно неожиданный результат! Теперь вас осеняет мысль: быть может, такое правило вы­полняется на всем протяжении этого бесконечного ряда. Для того чтобы проверить все суммы, потребуется бесконеч­ное время. Однако математик не скован таким требованием.

Смотрите, как он поступает. Сначала он допускает, что это правило выполняется для n слагаемых (при этом п означает любое целое положительное число), то есть сумма первых n членов ряда равна n2 — такое предположение возникло в результате того, что ему уже известно. Затем он задает себе • вопрос: «Будет ли это выполняться и далее?» Будет ли это утверждение справедливо для суммы (п+1) первых слагае­мых, если известно, что оно выполняется для суммы n сла­гаемых? Получим ли мы (n+1)2 в результате очередного суммирования? Математик поступает просто: берет сумму п первых членов и говорит, что она равна n2. В каком виде можно представить n-ый член этого ряда? Заметим, что ряд можно записать в форме:

2*(1)-1, 2*(2)-1, 2*(3)-1, 2*(4)-1,...

и тогда n-ое по счету слагаемое будет иметь вид 2n - 1. Определим (n+1)-ое слагаемое, заменив n на (n+1). Полу­чим:

2(n+1)- 1 = 2n+ 1.

Это легко проверить, так как нам известно, что каждое слагаемое ровно на 2 больше предшествующего слагаемого. Сложим это слагаемое с полученной ранее суммой n2 и посмотрим, будет ли новая сумма равна (n+1):

n2+(2n+1) = n2+2n+ 1

Те, кто помнит школьную математику, уже узнали эту формулу: записанное справа выражение равно

(n+1)2.

Иными словами, если сумма первых n членов ряда рав­на n2, то сумма первых (n+1) членов будет равна (n+1)2.

Таким образом, если это правило выполняется для какого-либо члена ряда, то оно будет справедливо и для следующе­го члена. Правильность закономерности для нескольких первых сумм была показана практическим методом, то есть прямыми вычислениями, но теперь нам ясно, что она сох­ранится на всей бесконечной протяженности этой последо­вательности. Такой подход постоянно используется в мате­матических доказательствах.