|
В индуктивной логике — в том привычном смысле, в каком она применяется в науке, — законы выводятся исходя из ряда наблюдений. Например, увидев набор точек на плоскости, вы можете попытаться придумать некую гипотезу, которая объяснит закономерность или взаимосвязь между положениями этих точек. В одной лекции я говорил о примере поиска подобной закономерности в расположении пяти точек. Если вы наложите на этот закон ограничение и потребуете, чтобы он представлял собой уравнение второй степени, то найдете единственное решение, поскольку пять точек на плоскости однозначно определяют кривую второй степени. Но если вы не будете сковывать свое мышление такими ограничениями (то есть допустите, что закон может быть уравнением третьей, четвертой, пятой и любой другой степени), то через эти пять точек может пройти в буквальном смысле слова бесконечное число кривых. Иначе говоря, существует бессчетное, потенциально бесконечное число возможных объяснений наших научных наблюдений — потенциально неисчислимое разнообразие. Мы не можем добиться однозначной, определенной истины. Именно по этой причине аксиоматическая наука имеет только прагматическую ценность. Она некоторое время помогает, но рано или поздно становится неверной. После обобщения Ньютона люди считали, что наконец-то постигли истину. Эта точка зрения сохранялась очень долго, но и она была опровергнута. Теории Ньютона не удалось объяснить некоторые измерения после того, как люди смогли провести их точнее. Сегодня более адекватными считаются идеи Эйнштейна, но завтра и они могут смениться новыми представлениями. Таким образом, аксиоматическая наука предлагает не окончательную, а прагматическую истину. Математическая индукция представляет собой тот процесс, благодаря которому мы можем переходить от чего-то конкретного и единичного к бесконечности в буквальном смысле. Я попытаюсь показать вам простой пример. Рассмотрим сумму: 1 + 3 + 5 + 7+... и так далее, без конца. Этот ряд представляет собой сумму нечетных чисел. Для обозначения номеров каждой промежуточной суммы этого ряда я буду использовать римские цифры — они отличаются от привычных и потребуются нам для поиска окончательной формулы. Количество слагаемых: I II III IV ... n n+1 Слагаемые: 1+ 3+ 5+ 7+...+ (n-1) + (2n+1) + ... — 54 —
|