|
Всем семнадцати схемам аксиом в данной интерпретации соответствуют верные равенства, а правила вывода из верных равенств порождают верные равенства. Проверим» например, схему аксиом 5. Для этого по каждой из схем формул, составляющих левую и правую часть этого равенства, построим контактную схему (рис. 5). Составив таблицу проводимости обеих схем (см. табл. 11), убедимся в их функциональной одинаковости. В силу данной интерпретации к исследованию контактных схем приложимым оказывается весь аппарат теории булевой алгебры. Становится возможным записывать схемы в виде аналитических выражений (формул), и по схемам определять соответствующие им формулы, упрощать схемы и т. п. Упрощение контактных схем, особенно решение задач их минимизации, то есть нахождения по данной схеме самой простой (содержащей наименьшее число контактов) функционально одинаковой с ней схемы» является весьма важным для автоматики. Проиллюстрируем упрощение схемы с помощью изложенного нами аппарата. Дана схема, изображенная на Рис. 6, а. По ней строится формула (А1 V (~A1&A2)) Упрощение этой формулы дает: (A1 V (~A1 & A2)) = (A1 V ~A1) & (A1 V А2)=(А1 V A2). Формуле (A1 V ~A2) соответствует более простая схема (рис. 6, б). Читателю предоставляется проверить функциональную одинаковость схем а и б, проследив их электрическое состояние при всех возможных состояниях их контактов[61]. После того как мы ознакомились с четырьмя интерпретациями одной и той же абстрактной системы – теории булевой алгебры (в узком смысле), возникает вопрос, как относятся друг к другу эти интерпретации. Ответ на него состоит в том, что они подобны друг другу, имеют одинаковую структуру. В самом деле: каждой булевой (булевской) формуле, тождественно‑равной единице, взаимно однозначно соответствует некоторая тождественно‑истинная форма логики высказываний – в логической интерпретации; каждой тождественно‑истинной форме – классовая форма, задающая универсальное множество, а этой последней – всегда проводящая схема. Аналогичное соответствие имеется и между формулами, тождественно‑равными нулю, тождественно‑ложными формами высказываний, классовыми формами, задающими пустое множество, и никогда не проводящими схемами. Перечень подобных соответствий может быть продолжен, однако и сказанного достаточно, чтобы сделать важный вывод: проводя исследования в одной из этих систем, мы его результаты можем перенести на любую другую. В частности, изучение электрических схем, состоящих из контактов, можно заменить изучением булевых функций. — 50 —
|