|
любой позиционной системе счисления. Перед нами, таким образом, отчетливо выступают два последовательно совершаемых обобщения: 1) нахождение формулы любого числа в десятичной системе и 2) нахождение формулы любого числа в любой позиционной системе счисления (позиционной системе с любым основанием). Эти два последовательных обобщения совершались в результате двух этапов анализа: 1) сначала анализа, в результате которого выступила формула выражения числа в позиционной системе счисления, причем основание системы еще не было отчленено от отношений, в которые оно в этой формуле включено, а затем 2) анализа, отчленившего систему отношений, которая составляет основное инвариантное содержание формулы, выражающей числовое содержание в позиционной системе, от переменного основания этой системы. В результате этого двойного анализа испытуемый и пришел к формуле, выражающей любое число вл юбой позиционной системе счисления. Такая обобщенная формула и позволила переходить от одной позиционной системы счисления к любой другой. При выделении общей формулы построения числа в десятичной или какой-либо другой системе испытуемый исходил из анализа отдельных чисел. Но ход экспериментов показал, что и уже найденная обобщенная формула не всегда обеспечивает возможность обозначения конкретного числа в соот- ветствующей системе счисления. Анализ затруднений, на которые наталкиваются при этом испытуемые, показывает, что не только обобщение, приводящее от обозначения конкретных чисел к формуле его построения, но и обратный процесс конкретизации общей формулы, необходимый для написания опре- деленного числа, требует анализа, в данном случае анализа соотношений между разрядом числа, выраженным в общей формуле показателем степени основания системы, и местом (справа или слева) числа, которым' разряд выражается при написании числа. Применение формулы на практике, в действии (в данном случае при написании числа) - это не только обобщение, но и конкретизация, а конкретизация тоже требует анализа, неотделимого от синтеза, - анализа условий, в которых должна быть применена общая формула, и соотнесения общей формулы с ними. Это применение формулы в различных условиях происходит тем совершенней, чем совершенней ее анализ. Возможность обозначения числа в другой системе счисления, так же как и возможность осуществления любого действия в новых условиях, зависит от того, насколько проанализированы и обобщены условия, регулирующие действия. Чем менее глубок анализ и широко обобщение, тем более действие фиксировано, приковано к исходным условиям; чем — 446 —
|