Против Богов. Укрощение риска

Например, все производители опасаются того, что результатом сборки может оказаться бракованная продукция, которая дойдет до потребителей. Стопроцентное качество в большинстве случаев практически невозможно — наш мир, похоже, непоправимо враж­дебен совершенству.

Представьте себе директора булавочной фабрики, который ста­рается добиться, чтобы бракованные булавки встречались не ча­ще, чем в 10 случаях из 100000, то есть чтобы брак составлял не бо­лее 0,01% от объема производства14. Для контроля дел он проводит обследование произвольной выборки из 100 000 сошедших с кон­вейера булавок и выясняет, что у 12 нет головок — на 2 больше, чем он надеялся получить в среднем по всей производимой про­дукции. Насколько значима эта разница? Какова вероятность най­ти 12 бракованных булавок из выборки объемом в 100000, если средний процент брака составляет 10 бракованных булавок на каж­дый 1 000 000? Нормальное распределение и среднее квадратичное отклонение де Муавра дают ответ на этот вопрос.

Но обычно вопрос ставится по-иному. Чаще никто точно не зна­ет, сколько именно бракованных изделий в среднем выпускает фабрика. Вопреки благим намерениям действительная доля брака может оказаться в среднем выше, чем 10 из 100000. Что скажет выборка из 100000 булавок о вероятности того, что для всей вы­пускаемой продукции брак в среднем составляет 0,01%? Насколь­ко более точные сведения можно получить из выборки объемом в 200 000 булавок? Какова вероятность того, что процент брака окажется в пределах от 0,009% до 0,011%? А в пределах от 0,007% до 0,013%? Какова вероятность того, что одна наугад взятая бу­лавка окажется бракованной?

Здесь исходными данными являются 10 булавок, 12 булавок, 1 булавка, а вероятность оказывается искомой величиной. В такой постановке задача сводится к вычислению так называемой обрат­ной вероятности: какова вероятность того, что по всей произве­денной продукции брак составляет в среднем 0,01%, если в выбор­ке из 100000 булавок оказалось 12 бракованных?

Одно из наиболее эффективных решений этой задачи было пред­ложено пастором Томасом Байесом, который родился в 1701 году и жил в Кенте15. Байес был нонконформистом. Он отвергал большин­ство обрядов англиканской церкви, перенятых ею от католической после отделения от Рима во время правления Генриха VIII.

Хоть Байес и был членом Королевского общества, известно о нем немного. В одном довольно скучном и безликом учебнике статистики он характеризуется :сак «загадочная личность»18. При жизни он не издал ни одного сочинения по математике и оставил только две рабо­ты, которые были опубликованы после его смерти, но не смогли обра­тить на себя должного внимания.