Против Богов. Укрощение риска

Первая прямо посвященная теории вероятностей работа де Му­авра озаглавлена «De Mensura Sortis» (буквально «Об измерении случайных величин»). Работа была впервые опубликована в 1711 го­ду в журнале Королевского общества «Philosophical Transactions». В 1718 году де Муавр предпринял значительно расширенное изда­ние этой работы на английском языке, озаглавленное «Теория слу­чайностей» («The Doctrine of Chances»), с посвящением своему близ­кому другу Исааку Ньютону. Книга имела огромный успех и вы­держала еще два издания в 1738-м и 1756 годах. Работа, видимо, произвела сильное впечатление на Ньютона, который при случае говорил своим студентам: «Обратитесь к мистеру де Муавру, он зна­ет эти вещи лучше меня». «De Mensura Sortis», по-видимому, пер­вая работа, в которой риск определен как шанс проигрыша: «Риск проиграть некую сумму обратен ожиданию выигрыша, и истинной мерой его является произведение поставленной на кон суммы на вероятность проигрыша».

В 1730 году де Муавр в конце концов обратился к предложен­ной Николаем Бернулли теме — насколько хорошо реальная вы­борка отображает свойства совокупности, на основе которой она построена. В 1733 году он опубликовал полное решение задачи и включил его во второе и третье издания «Теории случайностей». Он начинает с признания, что Якоб и Николай Бернулли «пока­зали очень большое искусство... Однако некоторые вещи нуждают­ся в дальнейшей разработке». В частности, подход обоих Бернулли «представляется настолько трудоемким и связан с такими сложно­стями, что до сих пор мало кто соглашался их преодолевать».

Действительно, необходимость проведения 25550 испытаний де­лала решение задачи практически неосуществимым. Даже если бы, как утверждал Джеймс Ньюмен, Якоб Бернулли в приведенном им примере был бы готов удовлетвориться «практической достоверно­стью», не большей, чем в пари с равными шансами, — вероятно­стью 50/юо того, что результат будет с точностью до 2% равен 3/2, — и то понадобилось бы 8400 испытаний. По нынешним стандартам требование Якобом вероятности 1000/iooi курьезно само по себе. Се­годня большинство статистиков принимают несовпадение не более чем в 1 из 20 случаев как основание признания значимости (так сегодня называют практическую достоверность) результата с более чем достаточной степенью вероятности.

Достижения де Муавра в решении этой проблемы стоят в ряду наиболее важных математических открытий. Используя вычисле­ния и основные свойства треугольника Паскаля, составляющие со­держание биномиальной теоремы, де Муавр демонстрирует, как ряд случайных испытаний, подобных опытам Бернулли с кувши­ном, приводит к распределению результата вокруг среднего значения. К примеру, предположим, вы вытащили сто камешков подряд из кувшина Якоба, каждый раз возвращая камешек в кувшин и фиксируя отношение числа черных и белых камешков. Теперь пред­положим, вы выполнили серию таких опытов по сто испытаний в каждом. Де Муавр смог бы заранее приблизительно сказать вам, сколько из этих отношений будут близки к среднему отношению в суммарном числе испытаний и как эти отдельные отношения бу­дут распределены относительно этого среднего.