|
2. Подход к доказательству. Доказательство нельзя просто навязать ребенку. В крайнем случае его можно ввести следующим образом: «Иногда мы не можем «отрезать лишнее» или «заполнить пробел» в прямом смысле этих слов. Как же в таких случаях убедиться, что мы поступили правильно?» Неплохо было бы сделать рисунок, где равенство площадей не является очевидным, и сказать: «Как убедиться в том, что метод, которым ты поль- Рис. 182 зовался раньше, подойдет и в этом случае?» На это ребенок может ответить: «Если эти две косые линии параллельны, то тогда можно с полным правом поступать так, как мы поступали раньше». И если ребенка затем спросить: «Почему? Почему ты так в этом уверен?» — он может ответить: «Важно, чтобы то, что я хочу убрать с левой стороны, точно соответствовало тому, что находится справа». Если вы потом спросите: «Как ты можешь доказать это? Что это значит?» — вы можете получить ответ: «Нам нужно, чтобы эти два треугольника были равны». Вопрос: «Можешь ли ты доказать, что они равны, если эти линии параллельны?» Ответ: «Они равны, потому что их проводили так, чтобы они были равными». Вопрос: «Можешь ли ты детально показать, что существенно для их равенства?» И тогда перед ребенком можно поставить проблему, как доказать конгруэнтность, или на его языке равенство, треугольников, используя равенство линий и углов. Ребенок может в этом случае воспользоваться некоторыми общими теоремами, которые он изучал раньше, на- 322 пример теоремой о равенстве соответственных углов. Или прийти к этим проблемам именно в данном контексте. Мы не склонны утверждать, что ребенок должен всегда, во всех случаях искать доказательство сам. (Хотя распространенный аргумент, что это потребует слишком много времени, кажется мне не вполне верным, не решающим.) Нет возражений против того, чтобы учитель сам демонстрировал все доказательство. Но в таком случае ему следует делать это структурно правильным способом, чтобы способствовать действительному пониманию иерархии фаз доказательства. ПРИЛОЖЕНИЕ 5 Уравновешивание палки Когда вы предлагаете детям построить из кубиков Т-образную конструкцию, положив один из кубиков вертикально и уравновешивая второй на вершине первого в горизонтальном положении, интересно наблюдать за развитием действий испытуемых, следить за тем, как они приходят к пониманию того, что устойчивость структурно требует симметрии. Эту же проблему предполагает задание по переносу длинных палок (выполнение которого интересно изучать и на собаках). Сначала дети экспериментируют с палкой, часто они сдаются после нескольких отрицательных проб. Но некоторые дети упорствуют, и большинство из них через некоторое время возвращается к задаче. Интересно наблюдать, как они учатся на своих ошибках. Пробы, приводящие к отрицательным результатам, являются не просто негативными случаями. Конечно, иногда ребенок производит слепые изменения, но очень часто мы наблюдаем, что он действует вполне осмысленно. Например, берет палку левее центра, и она падает направо, в следующей попытке ребенок может слепо повторить действие, схватив палку в том же самом месте — или даже еще левее, — но часто дети осмысленно корректируют свои действия, они хватают ее немного правее. Они могут схватить палку недостаточно или слишком далеко, но в следующей попытке они стараются произвести осмысленную коррекцию. Часто поведение в целом является вполне последовательным. В этом заключается основное различие между последовательностью случайных проб и последовательностью проб, которая обладает осмысленной структурой. — 217 —
|