Сочинения в четырех томах. Том 3. Часть 1

1

квадрата, то отыщется и изображаемая этою точкою точка самого квадрата. Таким образом, ни одна точка квадрата не остается неотображенной, и ни одна точка изображения не будет пустой, ничему не соответствующей: квадрат будет отображен на своей стороне. Подобно может быть изображен на стороне квадрата или на самом квадрате—куб, гиперкуб и вообще квадратовидное геометрическое образова­ние (полиэдроид, многоячейник) любого и даже бесконечно большого числа измерений. А говоря общее: любое непрерыв­ное образование любого числа измерений и с любым ограниче­нием может быть отображено на другом любом образовании, тоже с любым числом измерений и тоже с любым ограничени­ем; все что угодно в геометрии может быть отображено на всем что угодно.

С другой стороны, различные геометрические кривые могут быть построены таким образом, что кривая проходит через всякую заданную наудачу точку квадрата,— если вернуться к нашему начальному случаю,— и таким образом устанавлива­ется соответствие точек квадрата и точек кривой геометрически; привести же в соответствие точки этой последней с точками стороны квадрата, как пространств одномерных, уже совсем нетрудно, этим точки квадрата будут отображены на его сторо­не. Кривая Пэано и кривая Іильберта пред бесчисленным мно­жеством других кривых того же свойства (—например, пред траекторией биллиардного шара, пущенного под углом к борту, несоизмеримым с прямым; — незамыкающимися эпициклоида­ми, когда несоизмеримы радиусы обеих окружностей;—кривы­ми Лиссажу; — родонеями и т. д. и т. д.—) имеют одно сущест­венное преимущество: соответствие точек двухмерного образа и одномерного ими осуществляется практически, так что соот­ветствующие точки легко находятся, тогда как другими кривы­ми соответствие устанавливается лишь в принципе, но найти на самом деле, какая именно точка соответствует какой, было бы затруднительно. Не входя в технические подробности кривых Пэано, Іильберта и других, заметим лишь, что своими из­вивами в духе меандров такая кривая заполняет всю поверх­ность квадрата, и в с я к а я точка квадрата, при том или другом конечном числе меандризаций этой кривой, систематически на­копляемых, т. е. согласно определенному единообразному при­ему,— будет непременно задета извивами кривой. Аналогичные процессы применимы для отображения, как это разъяснено выше, чего угодно, на чем угодно.

Итак, непрерывные множества между собою все равномощ-ны. Но, обладая одинаковой мощностью, они не имеют одних и тех же «умопостигаемых» или «идеальных» чисел в смысле Г. Кантора, т. е. не «подобны» между собою. Иначе говоря,