|
1 Что же, геометрически говоря, значит изобразить некоторую реальность? Это значит привести точки воспринимаемого пространства в соответствие с точками некоторого другого пространства, в данном случае—плоскости. Но действительность по меньшей мере трехмерна,—даже если забыть о четвертом измерении, времени, без которого нет художества,— плоскость только двухмерна. Возможно ли такое соответствие? Возможно ли четырехмерный или, скажем для простоты, трехмерный образ отобразить на двухмерном протяжении, хватит ли в последнем точек, соответственных точкам первого, или, математически говоря: мощность образа трехмерного и таковая же двухмерного могут ли быть сравнимы?—Ответ, естественно напрашивающийся на ум — «Конечно, нет»,— «Конечно, нет, ибо в трехмерном образе—бесконечное множество двухмерных разрезов, и, следовательно, мощность его бесконечно больше мощности каждого отдельного разреза». Но внимательное обследование поставленного вопроса в теории точечных множеств показывает, что он не так-то прост, как это представляется с первого взгляда, и более того, что данный выше ответ, по-видимому естественный, не может быть признан правильным. Определеннее: мощность всякого трех- и даже многомерного образа точно такая же, как и мощность любого двух- и даже одномерного образа. Изобразить четырех- или трехмерную действительность на плоскости можно, и можно даже не только на плоскости, но и на любом отрезке прямой или кривой линии. При этом такое отображение возможно установить бесчисленным множеством, как арифметическим или аналитическим, так и геометрических соответствий. Типом первого может служить прием Георга Кантора, а вторых—кривая Пэано или кривая Гильберта46. Чтобы пояснить суть этих исследований с их неожиданными результатами возможно проще, ограничимся случаем изображения квадрата со стороною в одну единицу длины на прямолинейном отрезке, равном стороне вышеозначенного квадрата,—т. е. случаем изображения всего квадрата на его собственной стороне; все другие случаи довольно легко могут быть рассмотрены по образцу этого. Так вот, Георг Кантор указал аналитический прием, при помощи которого устанавливается соответствие между каждой точкой квадрата и каждой точкой его стороны: это значит, что если нам определено, двумя координатами ? и у, местоположение в любой точке квадрата, то некоторым единообразным приемом мы отыщем координату ?, определяющую некоторую точку стороны квадрата, изображение вышеозначенной точки самого квадрата; и наоборот, если указана произвольная точка на отрезке—изображении — 61 —
|