Сочинения в четырех томах. Том 3. Часть 1

1

нельзя отображать их друг в друге, не затрагивая их строения. При установке соответствия нарушается либо непрерывность изображаемого образа (—это когда хотят соблюсти взаимную однозначность изображаемого и изображения—), либо— взаимная однозначность того и другого (—когда сохраняется непрерывность изображаемого—).

Приемом Кантора образ передается точка в точку, так что любой точке образа соответствует только одна точка изображения, и наоборот, каждая точка этого последнего ото­бражает только одну точку изображаемого. В этом смысле, канторовское соответствие удовлетворяет привычному пред­ставлению об изображении. Но другим своим свойством оно чрезвычайно далеко от последнего: оно, как и все другие вза­имооднозначные соответствия, не сохраняет отношений со­седства между точками, не щадит их порядка и связей, т. е. не может быть непрерывным. Если мы двигаемся весьма мало внутри квадрата, то изображение проходимого нами пути уже не может быть само непрерывным, и изображающая точка скачет по всей области изображения. Невозможность дать со­ответствие точек квадрата и его стороны47, взаимно одно­значное и вместе непрерывное, было доказапо То м э, Нетто, Г. К а н ? о ? о м, но вследствие некоторых возражений Л ю -рота в 1878 году, Э. Юргенсом48 было доказано заново. Этот последний опирается на «предложение о промежуточном значении». «Пусть точки ? квадрата и Р' прямолинейного от­резка соответствуют друг другу; тогда некоторой линии Л В квадрата, содержащей точку Р9 должен отвечать целый, со­держащий точку Р\ связный отрезок на прямолинейном от­резке; следовательно, в силу предположенной однозначности соответствия остальных точек квадрата, им, в окрестности точ­ки Р, не может уже соответствовать никакой точки на линии в соседстве с точкою Р\ откуда ясно и очевидно вытекает невозможность однозначного и непрерывного отображения между точками линии и квадратом». Таково доказательство Юргенса. С другой стороны, соответствие Пэано, Іильберта и т. п. не может быть, как это доказано Люротом, Юр­генсом49 и другими, взаимнооднозначным, так что точка линии изображается не всегда одной-единственной точкой квад­рата, да вдобавок это соответствие и не вполне непрерывно. Иначе говоря, изображение квадрата на линии, или объема на поверхности, передает все точки, но не способно передать форму изображаемого, как целого, как внутренне определен­ного в своем строении предмета: передается содержа­ние пространства, но не его организация. Чтобы изобразить некоторое пространство со всем его точечным содержанием, необходимо, образно говоря, или столочь его