|
Общую характеристику вклада Фреге в логику и основания математики см. в статье Б. В. Бирюкова «О работах Фреге по философским вопросам математики», помещенной в сборнике «Философские вопросы естествознания», вып. 2, [М], 1959. [79] 18. В рассмотренном нами в гл. 3 исчислении равенств это были знаки ? и ?. [80] 19. При этом в интерпретациях этого исчисления – если не иметь в виду интуиционистскую и подобные ей «неклассические» логики, о которых пойдет речь ниже, присутствуют булевы алгебры. [81] 20. В построении самого Фреге фигурировали не схемы аксиом, а конкретные аксиомы, в связи с чем в числе постулатов имелось еще одно правило вывода – так называемое правило подстановки. Однако мы следуем его системе лишь в самых общих‑ чертах. Заметим, что символика Фреге резко отличалась от обычной линейной логической и математической символики. Она носила «рисунчатый» характер и не привилась. [82] 21. Используя «родство» эквиваленции (которую без труда можно ввести в исчисление Фреге) с отношением равенства и согласовав выразительные средства этого исчисления со‑средствами описанного в гл. 3 исчисления равенств (равносилъноетей) формул, можно показать, что эти исчисления в определенном смысле переводимы друг в друга – имеют одинаковую дедуктивную силу. [83] 22. Ниже излагается лишь общая идея фрегевского определения натуральных чисел. Полностью изложить его подход здесь, разумеется, не представляется возможным. [84] 23. Об определении натуральных чисел как конечных кардинальных чисел (по Кантору) см., например: Н. Бурбаки. Теория множеств. М., 1965, с. 197 и далее. [85] 24. J. van Heienoort. From Frege to Godel. A Source Book in Mathematical Logic. Cambridge (Mass.), 1967, p. 124–125. [86] 25. Под идеографией Рассел имеет в виду логическую символику. [87] 26. В теории Фреге предикаты рассматривались как частный случай функций, а именно, как функции, принимающие в качестве своих значений значения «истинно» и «ложно». Эта точка зрения на предикаты общепринята и в настоящее время при содержательном исследовании закономерностей «мира свойств и отношений». [88] 27. Имеется в виду книга Б; Рассела «Принципы математики», которая вышла два года спустя(В. Russell. The Principles of Mathematics. Cambridge (Engl.), 1993). [89] 28. Этими словами начинается послесловие Фреге ко второму тому «Основных законов арифметики» (с. 253). [90] 29. X. Б. Карри. Основания математической логики. М., 1969, с. 32. — 134 —
|