Жар холодных числ и пафос бесстрастной логики

[113] 19. Оно, правда, представляет собой сведение к абсурду, но в такой его форме, которая приемлема даже для Брауэра: ни закон исключенного третьего, ни закон снятия двойного отрицания (также отвергаемый интуиционистами) здесь не используется.

[114] 20. Этот доклад составляет добавление IX в книге «Основания геометрии».

[115] 21. П. С. Новиков. Элементы математической логики. М.» 1959, с. 36.

[116] 1. О содержании этой работы Гёделя можно подробнее прочесть в кн.: Э. М. Чудинов. Теория относительности и философия. М.. 1974, с. 232 и далее.

[117] 2. K. Godel. Uber formal unentscheidbare Satze der Principia Mathematica und vervandter Systeme. ‑– «Monatchefter fur Mathematik und Physik» Bd 38, 1931.

[118] 3. Понятие тождественной истинности, которое в гл. 3 было нами разъяснено в применении к формам высказываний, трактуемым на уровне логики высказываний (алгебры логики), естественным образом распространяется на классическую логику предикатов и строящиеся на ее основе логико‑математические системы. Поскольку, однако, мы не можем здесь рассказать, как происходит такое распространение, мы будем вместо «тождественной истинности» употреблять более общее (хотя и менее определенное) понятие «содержательной истинности» (истинности по смыслу).

[119] 4. Заметим, что если из доказуемости (или истинности) некоторой формулы (высказывания) следует ее недоказуемость, то это не означает еще формально‑логического противоречия. Таковое будет иметь место, если, кроме этого, из недоказуемости будет следовать доказуемость.

[120] 6. П. С. Новиков. Элементы математической логики. М., 1989, с. 36.

[121] 7. А. Н. Нагель. Дж. Р. Ньюмен. Теорема Гёделя. М., 1970. с. 58–60.

[122] 8. Краткий, но достаточно ясный обзор проблематики исследований формальных систем читатель найдет в гл. I кн.: С. Клини. Математическая логика. М., 1973.

. Одно из таких доказательств приводится в кн.: Э. Мендельсон. Введение в математическую логику. М., 1971, с. 282–295.

[123]

[124] 1. Совокупность этих допущений составляет то, что обычно называют абстракцией потенциальной осуществимости. Представление об этой абстракции в явной форме было введено в логику и основания математики выдающимся советским ученым Андреем Андреевичем Марковым (род. в 1903 г.). См.: А. А. Марков. Теория алгорифмов. Труды Математического института АН СССР. т. ХШ. М.–Л.. 1954. с. 15; А. А. Марков. О логике конструктивной математики. М., 1972.