|
Операция взятия дополнения к произвольному классу A (до некоторого объемлющего универсального класса, или универсума, V) есть операция, порождающая класс, состоящий из всех тех и только тех) элементов универсума, которые не входят в класс А; дополнение к А обозначается через A' или ‑A. Заметим, что операции пересечения и объединения классов обладают свойством коммутативности (перестановочности, симметричности), то есть А ? В = В ? А, А ? В = В ? А (это свойство используется ниже в примере 3). [33] 16. Действительно, по закону исключенного третьего:= AB ? AB' = ABC ? ABC' ? AB'C ? AB'C', A' = A'B ? A'B' = А'ВС ? А'ВС' ? AВ'С ? А'В'С' но, как очевидно, A ? A' = V. [34] 1. G. Вооlе. The Mathematical Analysis of Logic. Cambridge and London, 1847; G. Вооlе. An Investigation of the Laws of Thought. London, 1854. [35] 2. Е. Т. Веll. Men of Mathematics. New York. 1962, p. 433. О своеобразии английской математики того времени, объясняющем тот факт, что математическая логика возникла в Англии, см.: Б. В. Бирюков, А. А. Коноплянки н. Развитие логико‑математических идей как элемент исторической подготовки кибернетики (на примере развития английской науки в 19 и начале 20 вв.).– «Вестник истории мировой культуры», 1961, № 6 (30). [36] 3. Формулы вида (а & ?) и (а V ?) мы будем называть соответственно конъюнктивной и дизъюнктивной формулами (или формами, когда появится понятие формы), иногда же просто «конъюнкциями» и «дизъюнкциями». [37] 4. Метазнак (греч. «мета» – за, после) – знак, обозначающий знак или конструкцию из знаков данного алфавита и не принадлежащий к этому алфавиту. В данном случае метазнаки обозначают произвольные формулы. [38] 5. Строгое определение цепочки равенств выглядит следующим образом: а) каждое равенство есть (одночленная) цепочка равенств; б) если Х – цепочка равенств, в которой последней формулой справа является формула ? и ?=?;, то Х=? – тоже цепочка равенств: в) Других цепочек равенств, кроме устанавливаемых на основе пп. а) и б), не имеется. [39] 6. Этот список постулатов основан на перечне равносильностей алгебры высказываний, приведенных в кн.: П. С. Новиков. Элементы математической логики. М.» 1973. с. 42. [40] 7. Название связано с тем, что в математической логике законы 9 и 10 впервые сформулировал Де Морган. Однако соответствующие правила были известны уже средневековым логикам. [41] 8. Вместо этого «общего» правила замены равным в число постулатов можно было бы ввести более «конкретное» правило: если а = ? то (? & а) = (? & ?). (а & ?) = (? & ?); (? V а) = (? V ?), (а V ?)‑(? V ?)» ~а= ~?. «Общее» правило замены равным оказывается в этом случае производным правилом: его можно обосновать с помощью «конкретного» правила замены равным. — 129 —
|