|
[50] 17. Ср. формулировку этих законов у Джевонса (с. 43). Очевидно, что способ «формульного» представления этих законов зависит от характера рассматриваемого логического аппарата. рис. 7. Круговые схемы, изображающие пять возможных отношений между двумя произвольными классами а и ?. [51] 18. Аналогично, в школьной математике не пишут, скажем, ((а+b)+с)+d или (а+b)+(с+d) а записывают просто а+b+с+d. [52] 19. Эрнет Шредер (E. Schroder, 1841–1902) является автором трехтомных «Лекций по алгебре логики» (Vorlesungen uber die Logik. Bd. 1‑3, Leipzig, 1890–1905), знаменующих собой – вместе с трудами русского логика и астронома П. С. Порецкого (1846–1907) – вершину развития алгебры логики в прошлом столетии. Задача, которая приводится ниже, заимствована из первого тома «Лекций». Эту задачу приводила в своих лекциях по математической логике в Московском университете С. А. Яновская; мы приводим задачу в ее формулировке. [53] 20. Впрочем, операции булевой алгебры можно задавать указанием и других наборов их свойств. О булевых алгебрах см., например: И. М. Яглом. Алгебра Буля.– В сб.: «О некоторых вопросах современной математики и кибернетики». М., 1965. [54] 21. Напоминаем, что здесь высказывание понимается «классически», то есть как выражение либо истинное, либо ложное, но не то и другое вместе. [55] 22. При другом подходе булевой алгеброй для логической интерпретации нашего аппарата можно считать множество форм высказываний (рассматриваемых с точностью до отождествления равносильных форм) вместе с заданными на них операциями ~, &. V ‑ такая булева алгебра высказываний оказывается алгеброй Линденбаума – Тарского, о которой см.: Е. Расёва, Р. Сикорскии. Математика метаматематики. М., 1972, с. 282 и далее. [56] 23. Заметим, что булеву алгебру можно сформулировать и на основе отношения ? (или ?). См: X. Б. Карри. Основания математической логики. М., 1969. [57] 24. Для этого имеются и другие причины. Дело в том, что в алгебре логики Буля можно определить операцию дизъюнкции, и тогда все равенства, верные в логике высказываний как булевой алгебре, будут верными и в теории Буля; с другой стороны, в рассмотренной нами теории можно определить строгую дизъюнкцию (например, так: (А V B)?((A & ~В) V (~А & В)), и тогда теория Буля может быть пред. ставлена как теория булевой алгебры (в узком смысле). [58] 25. Понятие формы класса (классовой формы) следует понимать по аналогии с понятием «форма высказывания». — 131 —
|