|
[42] 9. Обращаем внимание на то, что мы не стремимся к независимости постулатов нашего аппарата. Например, свойство рефлексивности отношения равенства оказывается в данном построении производным от свойств симметричности и транзитивности этого отношения и каждой из схем аксиом 7, 8, 11–15. Со свойствами отношения равенства можно подробнее ознакомиться по кн.: А. Тарский. Введение в логику и методологию дедуктивных наук. М., 1948, с. 90 и далее. О философских вопросах, связанных в равенством и отождествлением, см: Д. П. Горский. Вопросы абстракции и образование понятий. М., 1961. [43] 10. То есть (а ? ?) ? (~а V ?), где ? есть знак «равенства выражений по определению» («графического» их совпадения). Мы будем считать, что к равенствам по определению тоже применимы правила [b] (ср. ниже с. 64–65 и 69–70). [44] 11. Различного рода исчисления равенств оказываются весьма полезным инструментом во многих разделах логики и оснований математики (ср. кн.: Р. Л. Гудстеин. Рекурсивный математический анализ. М., 1970, в которой исчисление равенств используется для построения и исследования фрагментов конструктивной математики; о конструктивном направлении в математике см. ниже, гл. 5 и далее). Систематическое представление различных логических систем в виде соответствующих исчислений равенств было осуществлено Г. И. Сыркиным в его курсах лекций «Алгебраические методы в логике», читанных на философском факультете МГУ в 1974–1975 гг. 1 [45] 12. Столбцы для аргументов от остальной части таблицы мы отделяем двойной вертикальной чертой. Обращаем внимание на то, что фигурирующие в таблицах 0 и 1 не следует смешивать с константами 0 и 1. [46] 13. С учетом интерпретации констант 0 и 1, которая будет дана ниже. [47] 13. С учетом интерпретации констант 0 и 1, которая будет дана ниже. [48] 15. Вместо слов «формула а при данных значениях своих переменных переходит в истинное (или ложное) высказывание» мы будем употреблять и такое выражение: «формула а принимает такое‑то (истинностное) значение», а также говорить: «формула а истинна (ложна)». [49] 16. В связи с данной интерпретацией заметим, что со знаками ? и ? можно было с самого начала поступить иначе: не вводить их определениями (как сокращения), а включить в сам язык формальной системы – в ее алфавит (расширив соответствующим образом пункт I в)). Это приведет к расширению понятия формулы и добавлению к системе постулатов схем аксиом для ? и ?. А именно, в пункт II (в) добавляется‑ «если а и ? – формулы, то (а ? ?) и (а ? ?) – тоже формулы», а к системе постулатов IV[a] присоединяются: 18. (а ? ?) = (~а V ?) и 19. (а ? ?) = (~а V ?) & (а V ~?)). Пункт V при этом должен быть удален. — 130 —
|